\(\displaystyle{ \int \frac{1}{3 \cdot \cos^{2} x + 1}}\)
Nie wiem jak to obliczyć próbowałem przekształcić z wzoru na cosinus podwojonego kąta ale nie mogę obliczyć, proszę o nakierowanie.
Całka z cosinusem
-
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 23 paź 2008, o 16:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 1 raz
Całka z cosinusem
Ostatnio zmieniony 22 sty 2015, o 21:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
-
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 23 paź 2008, o 16:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 1 raz
Całka z cosinusem
\(\displaystyle{ t= \tg x, \cos^2 x = \frac{1}{1 + t^{2}}, dx = \frac{\mbox{d}t}{1+t^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \int_{}{} \frac{\mbox{d}x}{1 + 3 \cos^{2} x} = \int_{}{} \frac{\frac{\mbox{d}t}{1+t^{2}} }{ \frac{3}{1 + t^{2}} + 1} = \int_{}{} \frac{\frac{\mbox{d}t}{1+t^{2}} }{ \frac{3 + 1 + t^{2} }{1 t^{2}} } = \int_{}{} \frac{1+ t^{2} \mbox{d}t}{(1+t^{2}) \cdot (4+t^{2})} = \int_{}{} \frac{\mbox{d}t}{t^{2} + 2^{2}} = \frac{1}{2} \arctg (\frac{t}{2}) = \frac{1}{2} \arctg (2 \ctg x}}\)
Czy to dobry wynik? W odpowiedziach mam inny
\(\displaystyle{ 2 \arctg 2 \ctg x}\)
\(\displaystyle{ \int_{}{} \frac{\mbox{d}x}{1 + 3 \cos^{2} x} = \int_{}{} \frac{\frac{\mbox{d}t}{1+t^{2}} }{ \frac{3}{1 + t^{2}} + 1} = \int_{}{} \frac{\frac{\mbox{d}t}{1+t^{2}} }{ \frac{3 + 1 + t^{2} }{1 t^{2}} } = \int_{}{} \frac{1+ t^{2} \mbox{d}t}{(1+t^{2}) \cdot (4+t^{2})} = \int_{}{} \frac{\mbox{d}t}{t^{2} + 2^{2}} = \frac{1}{2} \arctg (\frac{t}{2}) = \frac{1}{2} \arctg (2 \ctg x}}\)
Czy to dobry wynik? W odpowiedziach mam inny
\(\displaystyle{ 2 \arctg 2 \ctg x}\)
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6910
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Całka z cosinusem
Od kiedy to podstawienie jest uniwersalne ?waliant pisze:podstawienie uniwersalne \(\displaystyle{ t=\tg x}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{3 \cdot \cos^{2} x + 1}=\int{\frac{ \mbox{d}x }{\cos^{2}{x}} \cdot \frac{1}{3+\frac{1}{\cos^{2}{x}}} }\\
=\int{\frac{ \mbox{d}x }{\cos^{2}{x}} \cdot \frac{1}{3+1+\tan^{2}{x}} }\\
t=\tan{x}\\
\int{ \frac{1}{4+t^2} \mbox{d}t}=\frac{1}{2}\int{ \frac{ \frac{1}{2} \mbox{d}t }{1+\left( \frac{t}{2} \right)^2 } }\\
\left( \arctan{\left( -\frac{1}{t}\right) }\right)^{\prime}=\hdots}\)
Ostatnio zmieniony 23 sty 2015, o 08:40 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 84
- Rejestracja: 23 paź 2008, o 16:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 1 raz