Całka przez części

Mariusz1234 · Post autor: **Mariusz1234** » 28 wrz 2012, o 23:11

\(\displaystyle{ \int e^{9x}\cos \left( 2x \right) dx}\)

Jak przez części ?

spamer · Post autor: **spamer** » 28 wrz 2012, o 23:26

Pochodna z \(\displaystyle{ \cos{2x}}\) to \(\displaystyle{ -2sin(2x)}\), a następna to \(\displaystyle{ -4\cos{2x}}\).
Jeżeli w całkowaniu przez części będziemy całkować \(\displaystyle{ e^{9x}}\), a pochodną liczyć z \(\displaystyle{ \cos{2x}}\) to ostatecznie otrzymamy w niej to samo, co było na początku (\(\displaystyle{ \int e^{9x}cos(2x)\,dx}\)).
Z tego co wiem to jest tzw. całka rekurencyjna (choć wydaje mi się, że nie jest to określenie właściwe).
Jak już coś takiego otrzymamy to układamy równanie z \(\displaystyle{ \int e^{9x}cos(2x)\,dx}\) i tego, co nam wyszło i fragment identyczny (ta całka z polecenia) "przerzucamy" na drugą stronę i... skończone.

Wynik jest tutaj:

Kod: Zaznacz cały

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+e^%289x%29cos%282x%29

Link w tagach "code", bo "ucina" w połowie.

Mariusz1234 · Post autor: **Mariusz1234** » 28 wrz 2012, o 23:55

Nie wiem właśnie dlaczego autor dał ją w dziale "przez części". Całki rekurencyjne to jeszcze nie moja liga. No nic kiedyś ją rozwiąże

Edit:

Dzięki.

spamer · Post autor: **spamer** » 29 wrz 2012, o 00:04

Pewnie dlatego, że robi się je przez części.

) Nie odkładaj na kiedyś - może powinieneś zmienić nastawienie? Wcale nie jest to takie trudne.
Najważnejszy jest porządek na kartce, żeby się połapać, kiedy "ogonek" jest identyczny z początkiem (funkcją "wyjściową").

Zresztą... Może być na kolokwium - i co wtedy?

MichalPWr · Post autor: **MichalPWr** » 29 wrz 2012, o 00:22

\(\displaystyle{ \int e^{9x}\cos 2x dx=\begin{vmatrix} u=\cos 2x &dv=e^{9x}\\du=-2\sin 2x&v=\left( *\right) \int e^{9x}dx\end{vmatrix}=...}\)

\(\displaystyle{ \left( *\right) \int e^{9x}dx=\begin{vmatrix} 9x=t\\dx= \frac{1}{9}dt =\end{vmatrix}=\frac{1}{9}\int e^{t}dt=\frac{1}{9}e^{9x}}\) To jest całka pomocnicza. Na końcu dodamy stałą

\(\displaystyle{ ...=\frac{e^{9x}}{9} \cdot \cos 2x+ \frac{2}{9} \int e^{9x}\sin 2x dx=\begin{vmatrix} u=\sin 2x &dv=e^{9x}\\du=2\cos 2x&v=\left( *\right)\int e^{9x}dx\end{vmatrix}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{e^{9x}\cdot \cos 2x}{9} +\frac{2e^{9x} \cdot \sin 2x }{81}- \frac{4}{81} \int e^{9x}\cos 2xdx}\)

Teraz odejmujemy stronami.

\(\displaystyle{ \int e^{9x}\cos 2x dx=\frac{e^{9x}\cdot \cos 2x}{9} +\frac{2e^{9x} \cdot \sin 2x }{81}- \frac{4}{81} \int e^{9x}\cos 2xdx \ \ / \cdot 81}\)

\(\displaystyle{ \int e^{9x}\cos 2x dx= \frac{e^{9x}}{85} \cdot \left( 2\sin 2x+9\cos2x\right) +C}\)