Na powierzchni walca \(\displaystyle{ \{(x,y,z): x^{2}+y^{2}=1, 0<z<1\}}\) leży zbiór \(\displaystyle{ A}\), mierzalny względem miary \(\displaystyle{ \sigma_{2}}\). Dla każdej liczby \(\displaystyle{ t \in (0,1)}\) określamy: \(\displaystyle{ A_{t}=\{(x,y,z) \in A: z<t \}}\), \(\displaystyle{ f(t)=\sigma_{2}(A_{t})}\).
Dowieść, że:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}f(t)dt=\iint_{A}(1-z)d\sigma_{2}}\).
uwaga: \(\displaystyle{ d\sigma_{2}}\) oznacza to samo co \(\displaystyle{ dS}\).
Z góry dziękuję za pomoc.
całka powierzchniowa
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
całka powierzchniowa
Moja idea jest mniej więcej taka:
Całkę:
Całkę:
\(\displaystyle{ \iint_A g(z) \; \mbox d \sigma_2}\)
można zapisać jako:\(\displaystyle{ \int_0^1 g(t) \frac{\sigma_2 (A_{t + dt}) - \sigma_2 (A_t)}{\mbox d t} \; \mbox d t}\)
inaczej mówiąc zamiast całkować po malutkich "kawałeczkach" o polu \(\displaystyle{ \mbox d S}\) całkujemy po "paseczkach" o polu \(\displaystyle{ f'(t) \; \mbox dt}\). Całkując przez części mamy:\(\displaystyle{ \iint_A (1-z) \; \mbox d S = \int_0^1 (1-t) f'(t) \; \mbox d t = (1-t) f(t) \Big|_0^1 + \int_0^1 f(t) \; \mbox d t}\)