całka potrójna

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 25 kwie 2014, o 11:16

Obliczyć całkę \(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} \int_{V}^{} \left( x^{2} +y ^{2}+z \right) dx dy dz}\) gdzie \(\displaystyle{ V}\) jest walcem danym równaniem \(\displaystyle{ \left\{ \left( x,y,z\right)\in R^{3}: x^{2}+ y^{2} \le 4, -1 \le z \le 1 \right\}}\)

Mam pytanie muszę tą całkę rozdzielić na 2 całki zw względu na \(\displaystyle{ z}\) ? to znaczy od \(\displaystyle{ \left[ -1,0\right]}\) plus całka \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right]}\) ?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 25 kwie 2014, o 11:32

\(\displaystyle{ z}\) nie jest w żaden sposób ograniczony tutaj, czyli \(\displaystyle{ z \in \mathbb{R}}\)

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 25 kwie 2014, o 11:34

Sorki źle spisałam treść już poprawiłam

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 25 kwie 2014, o 11:41

Aha, ok. Nie trzeba \(\displaystyle{ z}\) rozdzielać w żaden sposób. Natomiast dla \(\displaystyle{ x,y}\) zastosuj współrzędne biegunowe
\(\displaystyle{ x = r \cos \varphi \\
y = r \sin \varphi}\)
U nas \(\displaystyle{ r \in [0,2]}\) oraz \(\displaystyle{ varphi in [0, 2pi)}\), zaś \(\displaystyle{ z}\) pozostaje niezmieniony i mamy \(\displaystyle{ z \in [-1, 1]}\).

anetaaneta1 · Post autor: **anetaaneta1** » 25 kwie 2014, o 11:59

A zastanawia nie to ze jak rozdzielę tą całkę ze względu na x to wychodzi inny wynik niż jak liczę jedną całkę-- 25 kwi 2014, o 12:02 --A jeszcze jedno pytanie dlaczego przedział \(\displaystyle{ [0,2 pi )}\) nie jest domknięty w \(\displaystyle{ 2 \pi}\)

lokas · Post autor: **lokas** » 25 kwie 2014, o 13:42

anetaaneta1 pisze:
A jeszcze jedno pytanie dlaczego przedział \(\displaystyle{ [0,2 pi )}\) nie jest domknięty w \(\displaystyle{ 2 \pi}\)

Gdyż \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 2 \pi}\) odpowiada temu samemu punktowi