całka podwójna - trójkąt
całka podwójna - trójkąt
Witam,
mam taką oto całkę:
\(\displaystyle{ \iint (2x-y) dx dy}\) wierzchołki: (0,0); (1,1); (-1,1)
Narysowałem trójkąt, podzieliłem na obszary:
A1:
-1\(\displaystyle{ \le}\)x\(\displaystyle{ \le}\)0
0\(\displaystyle{ \le}\)y\(\displaystyle{ \le}\)1
A2:
0\(\displaystyle{ \le}\)x\(\displaystyle{ \le}\)1
0\(\displaystyle{ \le}\)y\(\displaystyle{ \le}\)1
Nie wiem, czy dobrze podzieliłem te obszary i nie umiem poradzić sobie z tą całką.
Będę wdzięczny za pomoc
mam taką oto całkę:
\(\displaystyle{ \iint (2x-y) dx dy}\) wierzchołki: (0,0); (1,1); (-1,1)
Narysowałem trójkąt, podzieliłem na obszary:
A1:
-1\(\displaystyle{ \le}\)x\(\displaystyle{ \le}\)0
0\(\displaystyle{ \le}\)y\(\displaystyle{ \le}\)1
A2:
0\(\displaystyle{ \le}\)x\(\displaystyle{ \le}\)1
0\(\displaystyle{ \le}\)y\(\displaystyle{ \le}\)1
Nie wiem, czy dobrze podzieliłem te obszary i nie umiem poradzić sobie z tą całką.
Będę wdzięczny za pomoc
całka podwójna - trójkąt
Zrzutuj najpierw na oś \(\displaystyle{ y}\). W naszym trójkącie mamy \(\displaystyle{ 0\le y\le 1}\), a \(\displaystyle{ x}\) zmienia się od "lewej" do "prawej" prostej, tzn. od prostej \(\displaystyle{ x=-y}\) do prostej \(\displaystyle{ x=y}\).
Zatem
\(\displaystyle{ \iint_T (2x-y) dx dy=\int_0^1\Bigl(\int_{x=-y}^{x=y}(2x-y)dx\Bigr)dy.}\)
Zamieniłem Ci na całkę iterowaną - resztę policz sam.
PS. Najczęściej ludzie rzutują obszar tylko na oś \(\displaystyle{ x}\). Często prostszy opis ma obszar rzutowany na oś \(\displaystyle{ y}\).
Zatem
\(\displaystyle{ \iint_T (2x-y) dx dy=\int_0^1\Bigl(\int_{x=-y}^{x=y}(2x-y)dx\Bigr)dy.}\)
Zamieniłem Ci na całkę iterowaną - resztę policz sam.
PS. Najczęściej ludzie rzutują obszar tylko na oś \(\displaystyle{ x}\). Często prostszy opis ma obszar rzutowany na oś \(\displaystyle{ y}\).
całka podwójna - trójkąt
Aha, czyli zakładając, że oznaczam "swoim" sposobem, w podstawieniu tak, czy siak popełniłem błąd, tak? Jako dolne granice dla y powinienem wtedy przyjąć -x i x?
Policzyłem tą całkę, ale wyszło mi -\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)...
zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\left|x^2-yx\right|_{-y}^{y}dy= \int_{0}^{1}(y^2-y^2)-(y^2+y^2)dy}\)
i dalej:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} -2y^2dy= \left| - \frac{2}{3} \right|_{0}{1}=- \frac{2}{3}1^3+ \frac{2}{3}0^3=- \frac{2}{3}}\)
szczerze mówiąc dawno nie bawiłem się z całkami i nie wiem gdzie mogłem popełnić błąd. Co zrobiłem źle?
Policzyłem tą całkę, ale wyszło mi -\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)...
zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\left|x^2-yx\right|_{-y}^{y}dy= \int_{0}^{1}(y^2-y^2)-(y^2+y^2)dy}\)
i dalej:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} -2y^2dy= \left| - \frac{2}{3} \right|_{0}{1}=- \frac{2}{3}1^3+ \frac{2}{3}0^3=- \frac{2}{3}}\)
szczerze mówiąc dawno nie bawiłem się z całkami i nie wiem gdzie mogłem popełnić błąd. Co zrobiłem źle?
całka podwójna - trójkąt
jednak gdzieś jest błąd.
pole powinno wynieść 1 (a=2, h=1)
wyszło \(\displaystyle{ -\frac{2}{3}}\) . Co zrobić z tym minusem?
pole powinno wynieść 1 (a=2, h=1)
wyszło \(\displaystyle{ -\frac{2}{3}}\) . Co zrobić z tym minusem?
całka podwójna - trójkąt
To nie jest przecież objętość bryły Nie zawsze całka jest nieujemna. Zauważ, że na "przeważającej" części trójkąta \(\displaystyle{ T}\) funkcja podcałkowa jest ujemna. Więc wynik może jak najbardziej być ujemny.
\(\displaystyle{ 2x-y<0\iff y>2x}\). Zrób rysunek i zobacz na której części obszaru całkowania funkcja podcałkowa jest ujemna
\(\displaystyle{ 2x-y<0\iff y>2x}\). Zrób rysunek i zobacz na której części obszaru całkowania funkcja podcałkowa jest ujemna
całka podwójna - trójkąt
Ok, dzięki za pomoc :]
jutro kolokwium, pomęczę jeszcze kilka całek, zobaczymy jak pójdzie :]
jutro kolokwium, pomęczę jeszcze kilka całek, zobaczymy jak pójdzie :]
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 5 cze 2023, o 18:33
- Płeć: Kobieta
- wiek: 24
Re: całka podwójna - trójkąt
możliwe że ktoś tu jeszcze zawita więc podpowiem, że całki po trójkącie rozbijamy zawsze na dwa obszary np: trójkąt \(\displaystyle{ (0,0), (2,0), (1,1)}\) całkując \(\displaystyle{ f(x,y)}\) w kolejności \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \int_{0}^{x}f(x,y)dydx + \int_{1}^{2} \int_{0}^{-x+2}f(x,y)dydx}\)
w drugiej iteracji górna granica bierze się stąd że jest to \(\displaystyle{ y=-x+2.}\)
w drugiej iteracji górna granica bierze się stąd że jest to \(\displaystyle{ y=-x+2.}\)
Ostatnio zmieniony 5 cze 2023, o 19:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm.
-
- Administrator
- Posty: 34125
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: całka podwójna - trójkąt
Nieprawda, gdybyś uważnie przeczytała wątek, to wiedziałabyś, że ten trójkąt nie wymaga rozbijania - jest obszarem normalnym względem osi \(\displaystyle{ y}\).basedm3thaddict pisze: ↑5 cze 2023, o 18:41 możliwe że ktoś tu jeszcze zawita więc podpowiem, że całki po trójkącie rozbijamy zawsze na dwa obszary
JK