całka podwójna - trójkąt

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Ludogator
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 26 mar 2011, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: tychy

całka podwójna - trójkąt

Post autor: Ludogator »

Witam,

mam taką oto całkę:

\(\displaystyle{ \iint (2x-y) dx dy}\) wierzchołki: (0,0); (1,1); (-1,1)


Narysowałem trójkąt, podzieliłem na obszary:

A1:
-1\(\displaystyle{ \le}\)x\(\displaystyle{ \le}\)0
0\(\displaystyle{ \le}\)y\(\displaystyle{ \le}\)1

A2:
0\(\displaystyle{ \le}\)x\(\displaystyle{ \le}\)1
0\(\displaystyle{ \le}\)y\(\displaystyle{ \le}\)1

Nie wiem, czy dobrze podzieliłem te obszary i nie umiem poradzić sobie z tą całką.
Będę wdzięczny za pomoc
szw1710

całka podwójna - trójkąt

Post autor: szw1710 »

Zrzutuj najpierw na oś \(\displaystyle{ y}\). W naszym trójkącie mamy \(\displaystyle{ 0\le y\le 1}\), a \(\displaystyle{ x}\) zmienia się od "lewej" do "prawej" prostej, tzn. od prostej \(\displaystyle{ x=-y}\) do prostej \(\displaystyle{ x=y}\).

Zatem

\(\displaystyle{ \iint_T (2x-y) dx dy=\int_0^1\Bigl(\int_{x=-y}^{x=y}(2x-y)dx\Bigr)dy.}\)

Zamieniłem Ci na całkę iterowaną - resztę policz sam.

PS. Najczęściej ludzie rzutują obszar tylko na oś \(\displaystyle{ x}\). Często prostszy opis ma obszar rzutowany na oś \(\displaystyle{ y}\).
Ludogator
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 26 mar 2011, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: tychy

całka podwójna - trójkąt

Post autor: Ludogator »

Aha, czyli zakładając, że oznaczam "swoim" sposobem, w podstawieniu tak, czy siak popełniłem błąd, tak? Jako dolne granice dla y powinienem wtedy przyjąć -x i x?

Policzyłem tą całkę, ale wyszło mi -\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)...

zrobiłem tak:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\left|x^2-yx\right|_{-y}^{y}dy= \int_{0}^{1}(y^2-y^2)-(y^2+y^2)dy}\)

i dalej:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} -2y^2dy= \left| - \frac{2}{3} \right|_{0}{1}=- \frac{2}{3}1^3+ \frac{2}{3}0^3=- \frac{2}{3}}\)

szczerze mówiąc dawno nie bawiłem się z całkami i nie wiem gdzie mogłem popełnić błąd. Co zrobiłem źle?
szw1710

całka podwójna - trójkąt

Post autor: szw1710 »

Obliczenie całki iterowanej poprawne.
Ludogator
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 26 mar 2011, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: tychy

całka podwójna - trójkąt

Post autor: Ludogator »

jednak gdzieś jest błąd.

pole powinno wynieść 1 (a=2, h=1)

wyszło \(\displaystyle{ -\frac{2}{3}}\) . Co zrobić z tym minusem?
szw1710

całka podwójna - trójkąt

Post autor: szw1710 »

To nie jest przecież objętość bryły Nie zawsze całka jest nieujemna. Zauważ, że na "przeważającej" części trójkąta \(\displaystyle{ T}\) funkcja podcałkowa jest ujemna. Więc wynik może jak najbardziej być ujemny.

\(\displaystyle{ 2x-y<0\iff y>2x}\). Zrób rysunek i zobacz na której części obszaru całkowania funkcja podcałkowa jest ujemna
Ludogator
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 26 mar 2011, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: tychy

całka podwójna - trójkąt

Post autor: Ludogator »

Ok, dzięki za pomoc :]

jutro kolokwium, pomęczę jeszcze kilka całek, zobaczymy jak pójdzie :]
basedm3thaddict
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 5 cze 2023, o 18:33
Płeć: Kobieta
wiek: 24

Re: całka podwójna - trójkąt

Post autor: basedm3thaddict »

możliwe że ktoś tu jeszcze zawita więc podpowiem, że całki po trójkącie rozbijamy zawsze na dwa obszary np: trójkąt \(\displaystyle{ (0,0), (2,0), (1,1)}\) całkując \(\displaystyle{ f(x,y)}\) w kolejności \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \int_{0}^{x}f(x,y)dydx + \int_{1}^{2} \int_{0}^{-x+2}f(x,y)dydx}\)
w drugiej iteracji górna granica bierze się stąd że jest to \(\displaystyle{ y=-x+2.}\)
Ostatnio zmieniony 5 cze 2023, o 19:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: całka podwójna - trójkąt

Post autor: Jan Kraszewski »

basedm3thaddict pisze: 5 cze 2023, o 18:41 możliwe że ktoś tu jeszcze zawita więc podpowiem, że całki po trójkącie rozbijamy zawsze na dwa obszary
Nieprawda, gdybyś uważnie przeczytała wątek, to wiedziałabyś, że ten trójkąt nie wymaga rozbijania - jest obszarem normalnym względem osi \(\displaystyle{ y}\).

JK
ODPOWIEDZ