Dzień dobry!
Mam problem z następującą całką:
\(\displaystyle{ I=\iint\limits_D(x^2+y)dxdy}\), gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest obszarem ograniczonym krzywymi \(\displaystyle{ y=x^2}\) oraz \(\displaystyle{ x=y^2}\). Zrobiłem ją następująco:
\(\displaystyle{ D}\) jest obszarem normalnym względem osi \(\displaystyle{ Ox}\), gdyż po prostu
\(\displaystyle{ D=\{(x,y)\in\mathbb R^2: 0\leq x\leq 1;x^2\leq y\leq \sqrt{x}\}.}\)
Wobec tego mamy:
\(\displaystyle{ I=\int\limits_0^1dx\int\limits_{x^2}^{\sqrt{x}}(x^2+y)dy= \int\limits_0^1[x^2y+\frac 12y^2]_{x^2}^{\sqrt{x}}dx =\int\limits_0^1(x^{\frac 52}+\frac 12|x|-x^4-\frac 12x^4)dx=0.}\)
Jednakże dla każdego \(\displaystyle{ (x,y)\in D\setminus \{(0,0)\}}\) mamy \(\displaystyle{ x^2+y>0}\), więc całka nie może być równa \(\displaystyle{ 0}\). Gdzie więc zrobiłem błąd (lub błędy)?
Całka podwójna
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Całka podwójna
\(\displaystyle{ I=\int\limits_0^1dx\int\limits_{x^2}^{\sqrt{x}}(x^2+y)dy= \int\limits_0^1[x^2y+\frac 12y^2]_{x^2}^{\sqrt{x}}dx =\int\limits_0^1(x^{\frac 52}+\frac 12 x-x^4-\frac 12x^4)dx=\\=pawel8605 pisze: \(\displaystyle{ I=\int\limits_0^1dx\int\limits_{x^2}^{\sqrt{x}}(x^2+y)dy= \int\limits_0^1[x^2y+\frac 12y^2]_{x^2}^{\sqrt{x}}dx =\int\limits_0^1(x^{\frac 52}+\frac 12|x|-x^4-\frac 12x^4)dx=0.}\)
\frac{2}{7}x^{\frac 72} +x^2-\frac{3}{10}x^5 \bigg|_0^1= \frac{2}{7} +1-\frac{3}{10}=\frac{69}{70} \neq 0}\)
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Całka podwójna
kerajs pisze:\(\displaystyle{ I=\int\limits_0^1dx\int\limits_{x^2}^{\sqrt{x}}(x^2+y)dy= \int\limits_0^1[x^2y+\frac 12y^2]_{x^2}^{\sqrt{x}}dx =\int\limits_0^1(x^{\frac 52}+\frac 12 x-x^4-\frac 12x^4)dx=\\=pawel8605 pisze: \(\displaystyle{ I=\int\limits_0^1dx\int\limits_{x^2}^{\sqrt{x}}(x^2+y)dy= \int\limits_0^1[x^2y+\frac 12y^2]_{x^2}^{\sqrt{x}}dx =\int\limits_0^1(x^{\frac 52}+\frac 12|x|-x^4-\frac 12x^4)dx=0.}\)
\frac{2}{7}x^{\frac 72} +\red{ \frac{x^2}{4}}-\frac{3}{10}x^5 \bigg|_0^1=}\)