Mam obliczyc \(\displaystyle{ \int_{L}^{} y(1-x^2)dx+x(1+y^2) dy}\) gdzie łuk L jest okręgiem \(\displaystyle{ x^2+y^2=a^2}\) zorientowanym dodatnio wzgledem swojego wnetrza.
Liczone to mialo byc przy pomocy tw. Greena
wiec
\(\displaystyle{ Qx=1+y^2}\)
\(\displaystyle{ Py=1-x^2}\)
całka wiec wyglada
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{L}^{} y^2+x^{2} dxdy}\)
parametryzacja okregu
\(\displaystyle{ x=acos \alpha}\)
\(\displaystyle{ y=asin \alpha}\)
\(\displaystyle{ 0 \le r \le a}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \alpha \le 2\pi}\)
jakobian=r
\(\displaystyle{ x^2+y^2=a^2}\)
i teraz mam problem z zapisaniem całki podwojnej (szczerze mowiac to nie pamietam)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{L}^{} a^2 r drd \alpha = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} rdrd \alpha = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} r^{2}a^{2}}\) w granicy od 0 do a \(\displaystyle{ d \alpha}\)
dobrze to jest? chodzi mi glownie o tę całke podwojna
