Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi} dx \int_{x}^{\pi}\frac{siny}{y}dy}\)

proszę o pomoc. Zastanawiam się jak w powyższej całce zmienić kolejność całkowania, bo w tej kolejności to raczej niewykonalne.

chyba miało byc tak:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi} \int_{x}^{\pi}\frac{siny}{y}dydx}\)

prawda?

całkujemy po trójkacia o wierzcholkach w punktach: (0,0), \(\displaystyle{ (0,\pi)}\), \(\displaystyle{ (\pi, \pi)}\)

więc zmiana jest taka:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \pi} \int_{0}^{y}\frac{siny}{y}dxdy}\)

\(\displaystyle{ I=\int\limits_{0}^{\pi}dy\int\limits_{0}^{y}\frac{\sin y}{y}dx}\)

P.S. sigma_albgebra1 w zapisie natkoza jest wszystko w porządku, za to w Twoim zapisie są błęby.

ok, moze czegos nie pamietam, ale mozesz mi wytłumaczyc daczego wlasnie taki zapis jaki podajecie? bo dla mnie calka wielokrotna bardziej przypomina to co ja napisalam?

Powinno być jak już:

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{x}^{\pi}\frac{\sin y}{y}dxdy}\) - przed zamianą granic całkowania oraz:

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{y}\frac{\sin y}{y}dydx}\) - po zamianie granic.

no teraz sie nie moge zgodzic. Dlaczego przestawiasz zmienne?

-------------
Z ciekawości przejrzalam internet i znalazlam rzeczywiscie taki zpais jaki podajecie w na jakiejs stronie odnoscnie twierdzenia Fubiniego dla zbiorow normalnych, ale przyznam sie chyba sie z czyms takim wczesniej nie spotkalam, alo nie kojarze...


NO ale bedbed niepoprawnie pozamienial kolejnosc calkowania w tym co ja napisalam.

Dlaczego niepoprawnie?

bedbet pisze:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{y}\frac{\sin y}{y}dydx}\) - po zamianie granic.

zamieniles y z x w moim zapisie, i sie zroilo niepoprawnie, to y się zmienia od 0 do \(\displaystyle{ \pi}\) a x od 0 do y, a ni eodwrotnie.

Wydaje mi się, że nie dojdziemy do porozumienia. chyba po prostu inaczej nas tego uczyli. Chcesz powiedzieć, że w zwykłej całce z jakiejś tam funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)}\), po obszarze \(\displaystyle{ D=\{a<x<b \ , \ c<y<d \}}\) użyjemy zapisu:

\(\displaystyle{ I=\int_D\int f(x,y)dxdy}\),

a po wstawieniu granic całkowania będzie już:

\(\displaystyle{ I=\int\limits_{a}^{b}\int\limits_{c}^{d}f(x,y)dydx}\)?

no oczywiscie, zewnetrzna calka tyczy sie x a wewnetrzna y, bo tak okresliles granice calkowania.

\(\displaystyle{ I=\int\limits_{a}^{b}\int\limits_{c}^{d}f(x,y)dydx=\int\limits_{a}^{b}(\int\limits_{c}^{d}f(x,y)dy)dx}\)

Mnie inaczej uczyli.

dziękuję wam bardzo.

Co do waszego sporu, to
\(\displaystyle{ \int_{a}^bdx\int_{c}^{d}f(x,y)dy}\)
to poprostu powszechnie stosowany skrót takiego zapisu
\(\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b}(\int\limits_{c}^{d}f(x,y)dy)dx}\)

więc na moje oko oba zapisy są poprawne

to nie spor, tylko wymiana wiedzy ; ) , powaznie, ja takiego "powszechnego" zapisu sobie nie przypominam, widac zawsze czegos mozna sie nauczyc przy okazji

sigma_algebra1 pisze:to nie spor, tylko wymiana wiedzy ; ) , powaznie, ja takiego "powszechnego" zapisu sobie nie przypominam, widac zawsze czegos mozna sie nauczyc przy okazji

Zapraszam do zajrzenia do książki Włodarski, Krysicki Analiza Matematyczna tom II tam właśnie ja spotkałam się z takim zapisem. A jeśli chodzi o zamianę kolejności całkowania to mi wyszło tak samo jak sigma_algebra1.

Może przedstawię moje rozumowanie oparte na zajęciach z analizy:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\pi}dx \int_{x}^{\pi} \frac{\sin x}{y} dy=\int_{0}^{\pi} \left( \int_{x}^{\pi} \frac{\sin x}{y} dy \right) dx = \int_{D} \int \frac{\sin x}{y} dxdy= \int_{0}^{\pi} \left( \int_{0}^{y} \frac{\sin x}{y} dx \right) dy}\)

Nasz zbiór D:
\(\displaystyle{ D=\{(x,y): 0 \le x \le \pi \wedge x \le y \le \pi \}}\)
Rysujemy na wykresie ten zbiór wychodzi nam trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ (0,0), (0,\pi) i (\pi, \pi)}\) i z tego wykresu odczytujemy jak nam się zmieniają wartości x i y.