Całka po prostokącie
-
- Użytkownik
- Posty: 266
- Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 69 razy
Całka po prostokącie
Mam pytanie jak się zabrać za całkę podwójna po prostokącie dla \(\displaystyle{ R=[0,2]\times[0,1]}\).
\(\displaystyle{ \int \frac{dxdy}{(x+y+1)^{3} }}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dxdy}{(x+y+1)^{3} }}\)
Ostatnio zmieniony 28 sty 2019, o 18:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 7926
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1674 razy
Re: Całka po prostokącie
Stosując twierdzenie Gwido Fubiniego zapisujemy całkę w postaci dwóch całek iterowanych
\(\displaystyle{ \iint_{[0,2]\times[0, 1]} \frac{dx dy}{(x+y+ 1)^3} = \int_{0}^{2}\int_{0}^{1} \frac{dx dy}{x+y+ 1)^3} =...}\)
\(\displaystyle{ \iint_{[0,2]\times[0, 1]} \frac{dx dy}{(x+y+ 1)^3} = \int_{0}^{2}\int_{0}^{1} \frac{dx dy}{x+y+ 1)^3} =...}\)
Ostatnio zmieniony 28 sty 2019, o 18:51 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 266
- Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 69 razy
Re: Całka po prostokącie
Rozdzielilam je w ten sposób. Nie wiem jak je dalej obliczyć -- 28 sty 2019, o 19:16 --Dokładnie rozdzielilam je w ten sposób: \(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \left( \int_{0}^{1} \left( (x+y+1)^{-3}\right)dy \right) dx}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 266
- Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 69 razy
Re: Całka po prostokącie
A jeszcze jak mam taką całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \left( -\cos 2\pi + \cos \pi\right)dx= 0 \int_{0}^{1}dx= 0 \left( 1-0)=0\right}\) . To tak jak ja ją trzeba by było obliczyć?
-
- Użytkownik
- Posty: 7926
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1674 razy
Całka po prostokącie
Guzzi to nie jest całka pojedyńcza, dla której takie podstawienie byłoby bezsensowne.
Całka wewnętrzna:
\(\displaystyle{ I_{1} =\int_{0}^{1}(x+y+1)^{-3}dy = \left[ \frac{(x+y +1)^{-3 +1}}{-3+1} \right]_{0}^{1} = -\frac{1}{2}\left[\frac{1}{(x+y +1)^{2}}\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(x+2)^2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(x+1)^2}}\)
Całka zewnętrzna równa wartości całki podwójnej
\(\displaystyle{ I_{2} = \int_{0}^{2} \left(-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(x+2)^2} +\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(x+1)^2}\right) dx = -\frac{1}{2}\left[\frac{(x+2)^{-2+1}}{-2+1} \right]_{0}^{2} + \frac{1}{2}\left[\frac{(x+1)^{-2+1}}{-2+1}\right]_{0}^{2}=\frac{1}{2}\left [\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+1}\right]_{0}^{2}}\)
\(\displaystyle{ \iint_{(R)}\frac{dydx}{(x+y + 1)^3}=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2+2}-\frac{1}{2+1}- \frac{1}{0+2}+ \frac{1}{0+1}\right]=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+ 1\right] = \\ = \frac{5}{24}.}\)
Całka wewnętrzna:
\(\displaystyle{ I_{1} =\int_{0}^{1}(x+y+1)^{-3}dy = \left[ \frac{(x+y +1)^{-3 +1}}{-3+1} \right]_{0}^{1} = -\frac{1}{2}\left[\frac{1}{(x+y +1)^{2}}\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(x+2)^2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(x+1)^2}}\)
Całka zewnętrzna równa wartości całki podwójnej
\(\displaystyle{ I_{2} = \int_{0}^{2} \left(-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(x+2)^2} +\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(x+1)^2}\right) dx = -\frac{1}{2}\left[\frac{(x+2)^{-2+1}}{-2+1} \right]_{0}^{2} + \frac{1}{2}\left[\frac{(x+1)^{-2+1}}{-2+1}\right]_{0}^{2}=\frac{1}{2}\left [\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+1}\right]_{0}^{2}}\)
\(\displaystyle{ \iint_{(R)}\frac{dydx}{(x+y + 1)^3}=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2+2}-\frac{1}{2+1}- \frac{1}{0+2}+ \frac{1}{0+1}\right]=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+ 1\right] = \\ = \frac{5}{24}.}\)
Ostatnio zmieniony 28 sty 2019, o 19:49 przez janusz47, łącznie zmieniany 3 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 22249
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3763 razy
Re: Całka po prostokącie
\(\displaystyle{ -\cos 2\pi+\cos\pi=-2}\)Karolinaa0 pisze:A jeszcze jak mam taką całkę \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \left( -\cos 2\pi + \cos \pi\right)dx= 0 \int_{0}^{1}dx= 0 \left( 1-0)=0\right}\) . To tak jak ja ją trzeba by było obliczyć?
-
- Użytkownik
- Posty: 266
- Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 69 razy
Re: Całka po prostokącie
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \left[-\cos u\right] _{\pi}^{2\pi}dx}\)-- 28 sty 2019, o 20:57 --Chodziło mi o taką całkę
-
- Użytkownik
- Posty: 22249
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3763 razy
Re: Całka po prostokącie
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \left[-\cos u\right] _{\pi}^{2\pi}dx=\int_0^1 (-2)dx=-2}\)
Ostatnio zmieniony 28 sty 2019, o 19:59 przez a4karo, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 266
- Rejestracja: 11 cze 2018, o 19:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Płock
- Podziękował: 69 razy
Re: Całka po prostokącie
Wyżej dodałam jej dokończenie. Czy jest poprawne?
-- 28 sty 2019, o 21:00 --
Jak to przecież \(\displaystyle{ \cos 2\pi=1 ; \cos \pi=-1}\)
-- 28 sty 2019, o 21:05 --
Dobrze to ja już chyba mam wszystko źle. Chodziło mi o obliczenie tej calki podwójnej \(\displaystyle{ \iint x \sin xydxdy}\) po prostokącie\(\displaystyle{ R=[0,1]\times [\pi,2\pi]}\) Te całki wyżej to kontynuacja moich obliczeń tej całki. Zapewne wszystko źle
-- 28 sty 2019, o 21:16 --
Chwila jeszcze może uda mi się rozwiązać
-- 28 sty 2019, o 21:20 --
Jednak już chyba nie rozwiąże, zabrałam się metodą podstawiania i za \(\displaystyle{ u=xy}\) ale to chyba był zły pomysl
-- 28 sty 2019, o 21:29 --
Mogę prosić o wskazówkę która metodą powinnam rozwiązać ta całkę?
-- 28 sty 2019, o 21:00 --
Jak to przecież \(\displaystyle{ \cos 2\pi=1 ; \cos \pi=-1}\)
-- 28 sty 2019, o 21:05 --
Dobrze to ja już chyba mam wszystko źle. Chodziło mi o obliczenie tej calki podwójnej \(\displaystyle{ \iint x \sin xydxdy}\) po prostokącie\(\displaystyle{ R=[0,1]\times [\pi,2\pi]}\) Te całki wyżej to kontynuacja moich obliczeń tej całki. Zapewne wszystko źle
-- 28 sty 2019, o 21:16 --
Chwila jeszcze może uda mi się rozwiązać
-- 28 sty 2019, o 21:20 --
Jednak już chyba nie rozwiąże, zabrałam się metodą podstawiania i za \(\displaystyle{ u=xy}\) ale to chyba był zły pomysl
-- 28 sty 2019, o 21:29 --
Mogę prosić o wskazówkę która metodą powinnam rozwiązać ta całkę?
Ostatnio zmieniony 28 sty 2019, o 22:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7926
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1674 razy
Re: Całka po prostokącie
Proszę dokładnie zapisać postać tej całki podwójnej. Czy argumentem sinusa jest iloczyn
\(\displaystyle{ \sin(x\cdot y)?}\) i zbioru \(\displaystyle{ R,}\) po którym całkujemy.
\(\displaystyle{ \sin(x\cdot y)?}\) i zbioru \(\displaystyle{ R,}\) po którym całkujemy.