\(\displaystyle{
\int_{1}^{e} \frac{dx}{x(\ln x-1)} = \left| t = \ln x - 1, dt = \frac{1}{x} dx \right|
}\)
\(\displaystyle{
\int_{-1}^{0} \frac{dt}{t} = [\ln t]^{0}_{-1}
}\)
Wychodzi logarytm z liczby ujemnej, co jest raczej źle.
Całka oznaczona
-
essabyczku
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 29 lis 2020, o 20:13
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 4 razy
Całka oznaczona
Ostatnio zmieniony 13 lip 2022, o 22:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - sin, logarytm - log, logarytm naturalny - ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - sin, logarytm - log, logarytm naturalny - ln itd.
-
essabyczku
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 29 lis 2020, o 20:13
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 4 razy
Re: Całka oznaczona
Faktycznie.
A więc wychodzi
\(\displaystyle{
\ln|0|-\ln|1| = [- \infty - 0 ] = - \infty
}\)
Dziwny wynik. Czy on na pewno jest poprawny?
A więc wychodzi
\(\displaystyle{
\ln|0|-\ln|1| = [- \infty - 0 ] = - \infty
}\)
Dziwny wynik. Czy on na pewno jest poprawny?
Ostatnio zmieniony 13 lip 2022, o 22:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - sin, logarytm - log, logarytm naturalny - ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - sin, logarytm - log, logarytm naturalny - ln itd.
-
essabyczku
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 29 lis 2020, o 20:13
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 4 razy
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
essabyczku
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 29 lis 2020, o 20:13
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 4 razy
Re: Całka oznaczona
Chyba nie rozumiem.
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
essabyczku
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 29 lis 2020, o 20:13
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 4 razy
Re: Całka oznaczona
Hmm. Teraz zauważyłem, że \(\displaystyle{ \ln e = 1}\), ale tak być nie może, ponieważ wtedy mianownik się zeruje. A więc trzeba potraktować to jak całkę niewłaściwą i policzyć
\(\displaystyle{
\int_{1}^{T} \lim_{ T \to e} \frac{dx}{x(\ln x - 1)}
}\)
\(\displaystyle{
\int_{1}^{T} \lim_{ T \to e} \frac{dx}{x(\ln x - 1)}
}\)
Ostatnio zmieniony 14 lip 2022, o 21:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - sin, logarytm - log, logarytm naturalny - ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - sin, logarytm - log, logarytm naturalny - ln itd.
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Całka oznaczona
Raczej \(\displaystyle{ \lim_{ T \to e} \int_{1}^{T} \frac{dx}{x(\ln x - 1)}.}\)essabyczku pisze: ↑14 lip 2022, o 21:24A więc trzeba potraktować to jak całkę niewłaściwą i policzyć
\(\displaystyle{
\int_{1}^{T} \lim_{ T \to e} \frac{dx}{x(\ln x - 1)} }\)
Oczywiście. Ale być może teraz autor wątku dziwi się nieco mniej.
JK
-
essabyczku
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 29 lis 2020, o 20:13
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 4 razy
Re: Całka oznaczona
W takim razie najpierw liczę całkę nieoznaczoną
\(\displaystyle{
\int_{}^{} \frac{dx}{x(ln |x| - 1)} = \left| t = ln |x| - 1, dt = \frac{1}{x} dx\right| = \int_{}^{} \frac{dt}{t} = ln |t| + C = ln|ln|x|-1| + C
}\)
Następnie granicę
\(\displaystyle{
\lim_{ T \to e} [ln|ln|x|-1|]^T_1 = \lim_{ T \to e} [ln|ln|T|-1| - ln|ln|1|-1|]
}\)
Wiem, że
\(\displaystyle{
ln|ln|1|-1| = ln|0-1| = ln|1| = 0
}\)
Jak natomiast obliczyć \(\displaystyle{ ln|ln|T|-1|}\)?
Jak podstawię e pod T to wychodzi \(\displaystyle{ ln 0}\), co jest niemożliwe.
\(\displaystyle{
\int_{}^{} \frac{dx}{x(ln |x| - 1)} = \left| t = ln |x| - 1, dt = \frac{1}{x} dx\right| = \int_{}^{} \frac{dt}{t} = ln |t| + C = ln|ln|x|-1| + C
}\)
Następnie granicę
\(\displaystyle{
\lim_{ T \to e} [ln|ln|x|-1|]^T_1 = \lim_{ T \to e} [ln|ln|T|-1| - ln|ln|1|-1|]
}\)
Wiem, że
\(\displaystyle{
ln|ln|1|-1| = ln|0-1| = ln|1| = 0
}\)
Jak natomiast obliczyć \(\displaystyle{ ln|ln|T|-1|}\)?
Jak podstawię e pod T to wychodzi \(\displaystyle{ ln 0}\), co jest niemożliwe.
-
essabyczku
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 29 lis 2020, o 20:13
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 4 razy