całka nieoznaczona

edward1337 · Post autor: **edward1337** » 16 gru 2014, o 22:18

\(\displaystyle{ \int x \sqrt{\frac{x-1}{x+1} } dx}\)
Najpierw chyba trzeba przez częsci ale co dalej? Proszę o pomoc

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 16 gru 2014, o 22:20

Wydaję mi się że możesz za pierwiastek podstawić

\(\displaystyle{ \int x \sqrt{\frac{x-1}{x+1} } dx\\
t=\sqrt{\frac{x-1}{x+1} }\\
t^2=\frac{x-1}{x+1}=\frac{x+1-2}{x+1}\\
t^2=1-\frac{2}{x+1}\\
1-t^2=\frac{2}{x+1}\\
\frac{x+1}{2}=\frac{1}{1-t^2}\\
x+1=\frac{2}{1-t^2}\\
x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\\
\mbox{d}x =2 \cdot \left( -1\right) \cdot \left( 1-t^2\right)^{-2} \cdot \left( -2t\right) \mbox{d}t \\
\mbox{d}x =\frac{4t}{\left( 1-t^2\right)^2} \mbox{d}t\\
\int{ \frac{4\left( 1+t^2\right)t^2 }{\left( 1-t^2\right)^3 } \mbox{d}t}}\)

Teraz wystarczy rozkład na sumę ułamków prostych

edward1337 · Post autor: **edward1337** » 16 gru 2014, o 22:26

mariuszm pisze:Wydaję mi się że możesz za pierwiastek podstawić

\(\displaystyle{ t= \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}\)
\(\displaystyle{ dt= \frac{1}{\sqrt \frac{x-1}{x+1}(x+1)^2 }}\) i co dalej?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 16 gru 2014, o 22:31

Może najpierw wyznacz z tego podstawienia \(\displaystyle{ x}\) i dopiero wtedy różniczkuj i podstawiaj

edward1337 · Post autor: **edward1337** » 16 gru 2014, o 23:10

Dziękuje Panu bardzo serdecznie! Widzę, że przede mną jeszcze baardzo długa droga.

-- 16 gru 2014, o 23:38 --

A przy rozkładzie na sumę ułamków prostych wyjdzie az 6 składników?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 17 gru 2014, o 00:21

Tak tyle składników powinieneś uzyskać