Matematyka.pl

no niemam juz pomyslu. nie chce mi wyjsc ta calka.

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{ (1+ x^{2} ) ^{4} }}\)

Odsyłam do Kompendium Analizy, do tematu z całkami z Krysickiego, Włodarskiego - tam jest prawie identyczny przykład zrobiony - metoda zostaje ta sama, bez względu na wykładnik potęgi.
Szukaj oczywiście w całkach wymiernych, gdzieś pod koniec ich.

Areus pisze:no niemam juz pomyslu. nie chce mi wyjsc ta calka.

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{ (1+ x^{2} ) ^{4} }}\)

Powyższą całkę można rozbić na sumę całek w ten sposób

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{ (1+ x^{2} ) ^{4} }=\int_{}^{} \frac{1+x^2-x^2}{ (1+ x^{2} ) ^{4} }=}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{ (1+ x^{2} ) ^{3}} -\int_{}^{} \frac{x^2}{ (1+ x^{2} ) ^{4}}}\)


drugą całkę przez części gdzie

\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x}= \frac{-6x}{ \left( 1+x^2\right)^4 }}\)

\(\displaystyle{ v(x)=x}\)

Rozbicie na całkę sumy a następnie obliczenie drugiej całki przez części pozwoli na
obniżenie wykładnika

Gdy już obniżymy wykładnik to postępując w analogiczny sposób możemy obliczyć całkę

mariuszm pisze:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{ (1+ x^{2} ) ^{3}} -\int_{}^{} \frac{x^2}{ (1+ x^{2} ) ^{4}}}\)


drugą całkę przez części gdzie

\(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x}= \frac{-6x}{ \left( 1+x^2\right)^4 }}\)

\(\displaystyle{ v(x)=x}\)

Rozbicie na całkę sumy a następnie obliczenie drugiej całki przez części pozwoli na
obniżenie wykładnika

Gdy już obniżymy wykładnik to postępując w analogiczny sposób możemy obliczyć całkę

Pierwsza całka: 113567.htm

Menino czy ten sposób który ja wskazałem nie doprowadzi do wyniku
Ja obliczyłbym tą całkę w ten sposób
Przedstawiłbym całkę w postaci sumy całek tak jak w poprzednim poście
Scałkowałbym drugą całkę przez części tak jak w poprzednim poście
Po scałkowaniu przez części dodałbym całki (tak jak to się robi przy redukcji wyrazów podobnych)

Otrzymałbym wtedy prawie identyczną całkę tylko o niższym wykładniku

Zatem należy tak postępować aż do uzyskania wykładnika równego jeden wtedy całka będzie równa
arcus tangens

Tak dojdzie się tym sposobem. Nawet i jest może trochę prostszy od mojego
Postanowiłem go przećwiczyć

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{ (1+ x^2 ) ^4} \mbox{d}x =\int \frac{1+x^2-x^2}{ (1+ x^2 ) ^4} \mbox{d}x =\int \frac{1}{ (1+ x^2 ) ^3} \mbox{d}x -\int \frac{x^2}{ (1+ x^2 ) ^4} \mbox{d}x = \\ \\ = \int \frac{1}{ (1+ x^2 ) ^3} \mbox{d}x -\int \frac{-6x}{ (1+ x^2 ) ^4}\cdot \frac{x}{-6} \mbox{d}x = \\ \\ \\= \left[\begin{array}{cc}f=-\frac{x}{6} \Rightarrow \mbox{d}f=-\frac{1}{6} \\ \mbox{d}g=\frac{-6x}{ (1+ x^2 ) ^4} \Rightarrow g=\frac{1}{(1+x^2)^3} \end{array}\right] = \\ \\ \\ = \int \frac{1}{ (1+ x^2 ) ^3} \mbox{d}x +\frac{x}{6(1+x^2)^3} - \frac{1}{6} \int \frac{1}{(1+x^2)^3} \mbox{d}x = \frac{x}{6(1+x^2)^3}+\frac{5}{6} \int \frac{1}{(1+x^2)^3} \mbox{d}x = \\ =\frac{x}{6(1+x^2)^3}+\frac{5}{6} \int \frac{1}{(1+x^2)^2}-\frac{5}{6}\int \frac{x^2}{(1+x^2)^3} \mbox{d}x = \\ \\ = \frac{x}{6(1+x^2)^3}+\frac{5}{6} \int \frac{1}{(1+x^2)^2}-\frac{5}{6}\int \frac{-4x}{(1+x^2)^3} \cdot \frac{x}{-4} \mbox{d}x = \\ \\ \\ = \left[\begin{array}{cc}f=-\frac{x}{4} \Rightarrow \mbox{d}f=-\frac{1}{4} \\ \mbox{d}g=\frac{-4x}{ (1+ x^2 ) ^3} \Rightarrow g=\frac{1}{(1+x^2)^2} \end{array}\right] = \\ \\ \\ = \frac{x}{6(1+x^2)^3}+\frac{5}{6} \int \frac{1}{(1+x^2)^2}+\frac{5x}{24(1+x^2)^2}-\frac{5}{24}\int \frac{1}{(1+x^2)^2} \mbox{d}x = \\ \\ = \frac{x}{6(1+x^2)^3}+\frac{5x}{24(1+x^2)^2}+\frac{5}{8}\int \frac{1}{(1+x^2)^2} \mbox{d}x = \\ \\ = \frac{x}{6(1+x^2)^3}+\frac{5x}{24(1+x^2)^2}+\frac{5}{8}\int \frac{1}{1+x^2} \mbox{d}x -\frac{5}{8} \int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} \mbox{d}x= \\ \\ = \frac{x}{6(1+x^2)^3}+\frac{5x}{24(1+x^2)^2}+\frac{5}{8}\arctan x -\frac{5}{8} \int \frac{-2x}{(1+x^2)^2} \cdot \frac{x}{-2}\mbox{d}x = \\ \\ \\ = \left[\begin{array}{cc}f=-\frac{x}{2} \Rightarrow \mbox{d}f=-\frac{1}{2} \\ \mbox{d}g=\frac{-2x}{ (1+ x^2 ) ^2} \Rightarrow g=\frac{1}{1+x^2} \end{array}\right] = \\ \\ \\ = \frac{x}{6(1+x^2)^3}+\frac{5x}{24(1+x^2)^2}+\frac{5}{8}\arctan x +\frac{5x}{16(1+x^2)}-\frac{5}{16} \int \frac{1}{1+x^2}\mbox{d}x = \\ \\ = \frac{x}{6(1+x^2)^3}+\frac{5x}{24(1+x^2)^2}+\frac{5x}{16(1+x^2)}+\frac{5}{16}\arctan x}\)