\(\displaystyle{ \int \left( \ln \left( x ^{2} -1 \right) -\ln \left( x+1 \right)\right)}\)
Wiem, że mogę uprościć
\(\displaystyle{ \ln \left( x+1 \right) \left( x-1 \right) -\ln \left( x+1 \right) =\ln \frac{ \left( x+1 \right) \left( x-1 \right) }{ \left( x+1 \right) }=\ln \left( x-1 \right)}\)
Dalej coś znalazłem z całkowania przez części. Mam mieszane uczucia co do zastosowania podstawienia w celu obliczenia całki. Ale jako, że w grę wchodziła by też różniczka ln(t), wydaje mi się, że lepiej będzie polecieć na żywca, chociaż mam wrażenie, że ryzykuję, bo na dobrą sprawę mamy do czynienia z funkcją złożoną.
\(\displaystyle{ \int \ln \left( x-1 \right) = \left( x+1 \right) ^{,} \cdot \ln \left( x+1 \right) - \int \left( x+1 \right) \left( \ln \left( x+1 \right) \right) ^{,}}\)
Tutaj warto zrobić przerwę, aby zróżniczkować \(\displaystyle{ \ln(x+1)}\):
\(\displaystyle{ \left( \ln \left( x+1 \right) \right) ^{,}= \frac{1}{x+1} \cdot 1}\) no coż...
Wracając do poprzednich obliczeń:
\(\displaystyle{ \int \left( \ln \left( x ^{2} -1 \right) -\ln \left( x+1 \right)\right) = \left( x+1 \right) \ln \left( x+1 \right) - \int \left( x+1 \right) \frac{1}{x+1}=}\)
\(\displaystyle{ = \left( x+1 \right) \ln \left( x+1 \right) -x+C}\)
Jak mi to poszło?
-- 10 paź 2012, o 18:22 --
Aha, dziedzinę pominąłem umyślnie...
Całka logarytmu naturalnego
Całka logarytmu naturalnego
Ostatnio zmieniony 10 paź 2012, o 19:51 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Całka logarytmu naturalnego
Zatem misja zakończona sukcesem
-- 10 paź 2012, o 18:29 --
Martwiłem się chwilkę o ten ostatni \(\displaystyle{ -x }\), ale akurat zniwelował \(\displaystyle{ +1}\) z różniczki \(\displaystyle{ \ln(x+1)}\). Super!
-- 10 paź 2012, o 18:29 --
Martwiłem się chwilkę o ten ostatni \(\displaystyle{ -x }\), ale akurat zniwelował \(\displaystyle{ +1}\) z różniczki \(\displaystyle{ \ln(x+1)}\). Super!
