całka łatwa

Gaduszka · Post autor: **Gaduszka** » 15 maja 2010, o 22:06

\(\displaystyle{ \int\frac{x}{x^{2}+1}dx}\)
w tym przykładzie chciałabym się tylko dowiedzieć skąd bierze się \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) przed \(\displaystyle{ ln(x^{2}+1)+c}\) w rozwiązaniu

Quaerens · Post autor: **Quaerens** » 15 maja 2010, o 22:14

\(\displaystyle{ t=x^{2}+1}\)

-- 15 maja 2010, 21:16 --

\(\displaystyle{ \frac{dt}{2}=xdx \Rightarrow \frac{1}{2}dt=xdx}\)

xbw · Post autor: **xbw** » 15 maja 2010, o 22:22

Wykorzystujesz fakt, że gdy licznik jest pochodną mianownika, to całka równa się logarytmowi naturalnemu z mianownika, ale mamy
pochodną \(\displaystyle{ (x ^{2})'=2x}\), a w liczniku jest samo \(\displaystyle{ x}\)
stąd ta dwójka przez którą dzielimy.