całka krzywoliniowa po łamanej

ania607 · Post autor: **ania607** » 10 maja 2012, o 13:25

mam do rozwiązania następujące zadanie:

\(\displaystyle{ \int_{K}(x-1)dx+(y+3)dy+(z-x-y)dz}\), K jest łamaną o wierzchołkach (0,0,0), (2,2,2), (2,2,5).

Parametryzując mamy:

\(\displaystyle{ \overline{AB}=\left\{\begin{array}{l} x=x_A+(x_B-x_A)t=2t\\y=y_A+(y_B-y_A)t=2t\\z=z_A+(z_B-z_A)t=2t\end{array}}\)

I analogicznie:

\(\displaystyle{ \overline{BC}=\left\{\begin{array}{l} x=2\\y=2\\z=2+3t\end{array}}\)

i tutaj utknęłam, bo nie wiem co dalej... pomocy

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 10 maja 2012, o 15:04

Na odcinku \(\displaystyle{ AB}\) łamanej wstawiasz pod znak całki \(\displaystyle{ x=y=z =2t, \ dx =dy=dz =2dt,}\)
Na odcinku \(\displaystyle{ BC}\) łamanej: \(\displaystyle{ x=2, \ y=2, \ z = 2 +3t, dx =dy = 0, \ dz =3dt.}\)
Granice całkowania w obu całkach od 0 do 1.

ania607 · Post autor: **ania607** » 10 maja 2012, o 15:46

ok, i rozumiem, że obie całki należy następnie zsumować tak?

EDIT: aha i jeszcze - skoro w drugiej całce \(\displaystyle{ dx=dy=0}\) to całka będzie wyglądała następująco:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} (3t-2)dt}\)

?

Post autor: **Chromosom** » 10 maja 2012, o 16:03

ania607, dlaczego zamieszczasz to zadanie w dziale równania różniczkowe i całkowe pomimo, że nie jest to właściwy dział?

Całkę przekształcono poprawnie.

ania607 · Post autor: **ania607** » 10 maja 2012, o 16:40

jest to dla mnie zadanie modelowe i dlatego tak bardzo zależy mi na perfekcyjnym rozwiązaniu

ostatecznie zatem suma całek:

\(\displaystyle{ 2 \int_{0}^{1}[(2t-1)+(2t+3)+(-2t)]dt+3 \int_{0}^{1}(3t-2)dt}\)

została wyprowadzona poprawnie?