całka funkcji niewymiernej
- johanneskate
- Użytkownik
- Posty: 488
- Rejestracja: 24 lut 2009, o 18:00
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 2 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 22 kwie 2007, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
całka funkcji niewymiernej
Pierwsze podstawienie Eulera.
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-2x}= x+t}\)
Podnieś obustronnie do kwadratu, wyznacz x, obustronnie zróżniczkuj aby znaleźć dx. Potem wyznacz, co podstawić za pierwiastek i podstaw wszystko pod całkę. Będziesz miał prawdopodobnie do rozwiązania zwykłą całkę wymierną. Na końcu wróć z podstawieniem.
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-2x}= x+t}\)
Podnieś obustronnie do kwadratu, wyznacz x, obustronnie zróżniczkuj aby znaleźć dx. Potem wyznacz, co podstawić za pierwiastek i podstaw wszystko pod całkę. Będziesz miał prawdopodobnie do rozwiązania zwykłą całkę wymierną. Na końcu wróć z podstawieniem.
- johanneskate
- Użytkownik
- Posty: 488
- Rejestracja: 24 lut 2009, o 18:00
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 2 razy
całka funkcji niewymiernej
dziękuję, zacząłem podobnie, ale przestraszyłem się tego jak to wygląda, na szczęście mnóstwo się skróciło:).
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6910
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
całka funkcji niewymiernej
Można przez części
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{x ^{2}-2x } }dx= \int{ \frac{ \left(-1 \right) \cdot \left(-1+x \right) }{x \cdot \sqrt{x^2-2x}} \mbox{d}x }+\int{ \frac{1}{ \sqrt{x^2-2x} } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ =- \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x^2-2x}-\int{ \frac{ \sqrt{x^2-2x} }{x^2} \mbox{d}x }+\int{ \frac{1}{ \sqrt{x^2-2x} } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{x ^{2}-2x } }dx=- \frac{ \sqrt{x^2-2x} }{x}+ \int{\frac{-x^2+2x+x^2}{ \sqrt{x^2-2x} } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{x ^{2}-2x } }dx=- \frac{ \sqrt{x^2-2x} }{x} +2\int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{x ^{2}-2x } }dx}\)
\(\displaystyle{ -\int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{x ^{2}-2x } }dx=- \frac{ \sqrt{x^2-2x} }{x}}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{x ^{2}-2x } }dx=\frac{ \sqrt{x^2-2x} }{x}+C}\)
Jeżeli już stosować podstawienie Eulera to najlepiej trzecie
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-2x}=xt}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{x ^{2}-2x } }dx= \int{ \frac{ \left(-1 \right) \cdot \left(-1+x \right) }{x \cdot \sqrt{x^2-2x}} \mbox{d}x }+\int{ \frac{1}{ \sqrt{x^2-2x} } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ =- \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x^2-2x}-\int{ \frac{ \sqrt{x^2-2x} }{x^2} \mbox{d}x }+\int{ \frac{1}{ \sqrt{x^2-2x} } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{x ^{2}-2x } }dx=- \frac{ \sqrt{x^2-2x} }{x}+ \int{\frac{-x^2+2x+x^2}{ \sqrt{x^2-2x} } \mbox{d}x }}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{x ^{2}-2x } }dx=- \frac{ \sqrt{x^2-2x} }{x} +2\int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{x ^{2}-2x } }dx}\)
\(\displaystyle{ -\int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{x ^{2}-2x } }dx=- \frac{ \sqrt{x^2-2x} }{x}}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{x ^{2}-2x } }dx=\frac{ \sqrt{x^2-2x} }{x}+C}\)
Jeżeli już stosować podstawienie Eulera to najlepiej trzecie
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-2x}=xt}\)