Matematyka.pl

Pierwsze podstawienie Eulera.
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-2x}= x+t}\)
Podnieś obustronnie do kwadratu, wyznacz x, obustronnie zróżniczkuj aby znaleźć dx. Potem wyznacz, co podstawić za pierwiastek i podstaw wszystko pod całkę. Będziesz miał prawdopodobnie do rozwiązania zwykłą całkę wymierną. Na końcu wróć z podstawieniem.

dziękuję, zacząłem podobnie, ale przestraszyłem się tego jak to wygląda, na szczęście mnóstwo się skróciło:).

Można przez części

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{x ^{2}-2x } }dx= \int{ \frac{ \left(-1 \right) \cdot \left(-1+x \right) }{x \cdot \sqrt{x^2-2x}} \mbox{d}x }+\int{ \frac{1}{ \sqrt{x^2-2x} } \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ =- \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x^2-2x}-\int{ \frac{ \sqrt{x^2-2x} }{x^2} \mbox{d}x }+\int{ \frac{1}{ \sqrt{x^2-2x} } \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{x ^{2}-2x } }dx=- \frac{ \sqrt{x^2-2x} }{x}+ \int{\frac{-x^2+2x+x^2}{ \sqrt{x^2-2x} } \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{x ^{2}-2x } }dx=- \frac{ \sqrt{x^2-2x} }{x} +2\int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{x ^{2}-2x } }dx}\)

\(\displaystyle{ -\int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{x ^{2}-2x } }dx=- \frac{ \sqrt{x^2-2x} }{x}}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{x \cdot \sqrt{x ^{2}-2x } }dx=\frac{ \sqrt{x^2-2x} }{x}+C}\)

Jeżeli już stosować podstawienie Eulera to najlepiej trzecie

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2-2x}=xt}\)