Matematyka.pl

Znajdź wszystkie dodatnie rozwiązania układu równań:
\(\displaystyle{ x_1+x_2=x^2_3,x_2+x_3=x^2_4,x_3+x_4=x^2_5,x_4+x_5=x^2_1,x_5+x_1=x^2_2}\)

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Możemy sobie cyklicznie przesunąć indeksy w całym układzie i nic się nie zmieni, więc przypuśćmy bez straty ogólności, że \(x_1\) jest największą z niewiadomych. Odejmujemy czwarte równanie od piątego i mamy, że \(x_4=x_2=x_1\), bo inaczej strony miałyby przeciwne znaki. Dalej bierzemy równanie pierwsze z drugim i dostajemy \(x_3=x_1\), a z trzeciego z czwartym dostajemy \(x_5=x_1\).

Ale chwila, jak odejmę czwarte równanie od piątego to dostanę:
\(\displaystyle{ x_1-x_4=x^2_2-x^2_1}\)
Jak z tego uzasadnić, że \(\displaystyle{ x_1=x_2=x_4}\)?

Mamy \(\displaystyle{ x_1-x_4\ge 0\ge x^2_2-x^2_1}\). Stąd

bosa_Nike pisze: ↑13 sty 2023, o 09:57mamy, że \(x_4=x_2=x_1\), bo inaczej strony miałyby przeciwne znaki.

JK

No ok, zatem z tego wynika, że \(\displaystyle{ x_1=x_2=x_3=x_4=x_5}\) czyli podstawiając do pierwszego równania mamy:
\(\displaystyle{ x_1+x_1=x_1^2}\) czyli \(\displaystyle{ x_1(x_1-2)=0}\) czyli
\(\displaystyle{ x_1=0}\) lub \(\displaystyle{ x_1=2}\), ale rozwiązania mają być dodatnie, zatem jedyne rozwiązanie tego układu to:
\(\displaystyle{ x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=2}\),

Dobrze?

Dodano po 2 dniach 5 godzinach 46 minutach 17 sekundach:
Podbijam pytanie.