Matematyka.pl

Wykaż, że nierówność
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{a^{2}+b^{2}}{2} } \ge \frac{a+b}{2} }\),
jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a, b}\).
Gdyby \(\displaystyle{ a,b>0}\), to podnoszę nierówność stronami do kwadratu i przeszkaształcam.
W ostateczności otrzymuje
\(\displaystyle{ (a-b)^{2} \ge 0}\).
A z wykorzystaniem średniej( nie wiem czy dobrze myslę)
\(\displaystyle{ L=\sqrt{ \frac{a^{2}+b^{2}}{2} } \le \sqrt{ \sqrt{a^{2}b^{2}} } }\)...

Żle myślisz. Ta nierówność jest w drugą stronę.

Zadanie jest bez sensu. Co to znaczy "z wykorzystaniem średniej"? Obie strony tej nierówności to średnie - kwadratowa i arytmetyczna.
Może autorowi chodzi o to, żeby nierówność `a^2+b^2\ge 2ab` doprowadzić nie do postaci `(a-b)^2\ge 0` lecz do \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{2}\ge \sqrt{a^2b^2}}\)?
Totalna bzdura

Wg mnie, ze średniej kwadratowej i arytmetycznej idzie
\[\sqrt{ \frac{a^{2}+b^{2}}{2} } \ge \frac{|a|+|b|}{2}\]
Pozostaje uzupełnić
\[\frac{|a|+|b|}{2}\ge \frac{a+b}{2}\]
Pozdrawiam