Wykazać, że dla każdej liczby dodatniej \(\displaystyle{ a}\) oraz dla każdej liczby dodatniej \(\displaystyle{ b}\) prawdziwa jest nierowność
\(\displaystyle{ 5\left( \frac{a^{2}}{b^{2}}+ \frac{b^{2}}{a^{2}} \right)+14 \ge 12\left( \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} \right) }\).
Dodano po 13 minutach 27 sekundach:
Próbuję zrobić to w następujący sposób, tylko nie wiem co dalej
\(\displaystyle{ 5\left( \left( \frac{a}{b} \right)^{2}+\left( \frac{b}{a} \right)^2 +2-2 \right)+14-12\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) \ge 0 }\),
\(\displaystyle{ 5\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^{2} -12\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) +4 \ge 0}\),
\(\displaystyle{ 4\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^{2} -12\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) +9+\left( \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} \right)^{2}-4 \ge 0}\),
\(\displaystyle{ \left( 2 \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right) -3\right)^{2}+\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^{2}-4 \ge 0 }\).
Wykazać następującą nierówność z ułamkami
Wykazać następującą nierówność z ułamkami
Ostatnio zmieniony 16 kwie 2024, o 10:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Hir
- Użytkownik
- Posty: 74
- Rejestracja: 7 mar 2024, o 21:07
- Płeć: Kobieta
- wiek: 29
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 27 razy
Re: Wykazać następującą nierówność z ułamkami
Podstaw \(\displaystyle{ x = a/b}\), wtedy Twoja nierówność przyjmuje postać
\(\displaystyle{ 5x^2 + \frac{5}{x^2} + 14 - 12x - \frac{12}{x} \ge 0}\)
Mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ x^2}\)
\(\displaystyle{ 5x^4 + 5 + 14x^2 - 12x^3 - 12 x \ge 0}\)
Zgadujemy, że \(\displaystyle{ x = 1}\) zeruje lewą stronę, dzielimy ją przez \(\displaystyle{ (x-1)}\) schematem Hornera.
\(\displaystyle{ (5 x^3 - 7 x^2 + 7 x - 5)(x - 1) \ge 0}\)
Pierwszy czynnik znowu jest zerowany przez \(\displaystyle{ x = 1}\), powtarzamy:
\(\displaystyle{ (5x^2 - 2 x + 5)(x-1)^2 \ge 0}\)
Pozostało sprawdzić, czy trójmian kwadratowy jest nieujemny. Możesz to zrobić korzystając z delty.
\(\displaystyle{ 5x^2 + \frac{5}{x^2} + 14 - 12x - \frac{12}{x} \ge 0}\)
Mnożymy stronami przez \(\displaystyle{ x^2}\)
\(\displaystyle{ 5x^4 + 5 + 14x^2 - 12x^3 - 12 x \ge 0}\)
Zgadujemy, że \(\displaystyle{ x = 1}\) zeruje lewą stronę, dzielimy ją przez \(\displaystyle{ (x-1)}\) schematem Hornera.
\(\displaystyle{ (5 x^3 - 7 x^2 + 7 x - 5)(x - 1) \ge 0}\)
Pierwszy czynnik znowu jest zerowany przez \(\displaystyle{ x = 1}\), powtarzamy:
\(\displaystyle{ (5x^2 - 2 x + 5)(x-1)^2 \ge 0}\)
Pozostało sprawdzić, czy trójmian kwadratowy jest nieujemny. Możesz to zrobić korzystając z delty.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10243
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2369 razy
Re: Wykazać następującą nierówność z ułamkami
Ten sposób też jest dobry, tylko dla przejrzystości warto podstawić \(\displaystyle{ t = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}}\). Otrzymuje się wtedy zwykłą nierówność kwadratowąvip123 pisze: ↑16 kwie 2024, o 07:57Próbuję zrobić to w następujący sposób, tylko nie wiem co dalej
\(\displaystyle{ 5\left( \left( \frac{a}{b} \right)^{2}+\left( \frac{b}{a} \right)^2 +2-2 \right)+14-12\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) \ge 0 }\),
\(\displaystyle{ 5\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^{2} -12\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) +4 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 5t^2 - 12t + 4 \ge 0}\),
która po rozłożeniu przyjmuje postać
\(\displaystyle{ (t-2)(5t-2) \ge 0}\).
Teraz wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ t \ge 2}\), zatem ostatnia nierówność jest prawdziwa.