Matematyka.pl

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ a,b}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \left( \frac{a+b}{2} \right)^{a+b} \ge a^n \cdot b^a }\)

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Coś się pomyliłeś, bo dla \(\displaystyle{ a=b=2, n=2023}\) nie działa...

JK

Miało być po prawej \(\displaystyle{ a^bb^a}\)

Można na kilka sposobów:

• AM-GM z wagami.

• Jensen dla wklęsłej funkcji \(\displaystyle{ x\ln x}\).

• Możliwe, że nawet sprytny Bernoulli zadziała, ale ja nie próbowałem i póki co nie zamierzam.

Janusz Tracz pisze: ↑2 sty 2023, o 14:21 Można na kilka sposobów:

• Jensen dla wklęsłej funkcji \(\displaystyle{ x\ln x}\).

Zademonstrujesz?

Dodano po 29 minutach 40 sekundach:
wsk: wklęsła jest funkcja `f(t)=((1-t)a+tb)\ln (ta+(1-t)b)` dla `0\le t\le 1`

a4karo pisze: ↑2 sty 2023, o 15:54 Zademonstrujesz?

Funkcja \(\displaystyle{ f=[\, x\mapsto x\ln x \,]}\) jest wklęsła zatem w szczególności z nierówności Jensena
czyli
co dowodzi nierówności: \(\displaystyle{ \left( \frac{a+b}{2} \right)^{a+b} \ge a^a b^b}\). Z twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych mamy

Zatem \(\displaystyle{ a^a b^b \ge a^b b^a}\).

Ale ta funkcja jest wypukła.

Nie wiem czy czepiasz się nazwy czy kierunku nierówności? Dla mnie \(\displaystyle{ x^2}\) wklęsła jak miska. A nierówność dobrze chyba dałem.

Właśnie `x^2` jest wypukłą. Napisałeś poprawną nierówność dla funkcji wypukłej, ale potem ją odwróciłeś.

Janusz Tracz pisze: ↑2 sty 2023, o 16:58 Nie wiem czy czepiasz się nazwy czy kierunku nierówności? Dla mnie \(\displaystyle{ x^2}\) wklęsła jak miska.

Dla Ciebie może tak, ale definicje funkcji wypukłej i wklęsłej nie zależą od Twoich wyobrażeń. A zgodnie z nimi funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) jest wypukła.

JK

Szymon Wąsowicz namierzył skrypt jednej z wojskowych uczelni, gdzie `x^2` jest wklęsła.

Dodano po 1 minucie 28 sekundach:
NB nazwa funkcji wypukłej wzięła się z tego, że jej wykres ogranicza od dołu obszar wypukły.

a4karo pisze: ↑2 sty 2023, o 17:01 ale potem ją odwróciłeś.

Faktycznie udowodniłem coś innego, a dokładnie \(\displaystyle{ \left( \frac{a+b}{2} \right)^{a+b} \le a^a b^b}\). Dzięki.

Jan Kraszewski pisze: ↑2 sty 2023, o 17:02 Dla Ciebie może tak, ale definicje funkcji wypukłej i wklęsłej nie zależą od Twoich wyobrażeń.

Od moich wyobrażeń może nie ale jakby to nazewnictwo było bardzo powszechnie ustalone i do tego jednoznaczne to nie było by nazw: wypukła w dół i wypukła w górę.

PS nie chce zaczynać dyskusji nad wklęsłością i wypukłością. Błąd był w kierunku ostatniej nierówności. Wklęsłość i wypukłość to inny temat.

PPS mój post możesz więc zignorować. Bo udowodniłem coś innego przez swój błąd. Przepraszam.

Janusz Tracz pisze: ↑2 sty 2023, o 17:12nazewnictwo było bardzo powszechnie ustalone i do tego jednoznaczne to nie było by nazw: wypukła w dół i wypukła w górę.

Nazewnictwo jest jak najbardziej jednoznaczne: funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) zawsze jest wypukła, a funkcja \(\displaystyle{ f(x)=-x^2}\) - wklęsła.

Natomiast pojecie funkcji wypukłej może być szerzej rozumiane i stąd biorą się inne nazwy tych własności, czyli wypukła w dół (czyli wypukła) i wypukła w górę (czyli wklęsła).

JK

\(\frac{a+b}{2}\ge\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{b}{a+b}\cdot a+\frac{a}{a+b}\cdot b\ge a^{\frac{b}{a+b}}b^{\frac{a}{a+b}}\)

bosa_Nike pisze: ↑2 sty 2023, o 20:23 \(\frac{a+b}{2}\ge\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{b}{a+b}\cdot a+\frac{a}{a+b}\cdot b\ge a^{\frac{b}{a+b}}b^{\frac{a}{a+b}}\)

Brawo

Dodano po 7 godzinach 39 minutach 39 sekundach:
Można też tak (choć pierwsza nierówność jest słabsza niż powyższa):
Dla `a<b` funkcja \(\displaystyle{ h(x)=a^{a+b-x}b^x=a^{a+b}\cdot \left(\frac ba\right)^x}\) jest ściśle rosnąca, więc