Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
-
- Użytkownik
- Posty: 3394
- Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 981 razy
- Pomógł: 3 razy
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich \(\displaystyle{ a,b}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \left( \frac{a+b}{2} \right)^{a+b} \ge a^n \cdot b^a }\)
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
\(\displaystyle{ \left( \frac{a+b}{2} \right)^{a+b} \ge a^n \cdot b^a }\)
Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
Coś się pomyliłeś, bo dla \(\displaystyle{ a=b=2, n=2023}\) nie działa...
JK
JK
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4075
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
Można na kilka sposobów:
- AM-GM z wagami.
- Jensen dla wklęsłej funkcji \(\displaystyle{ x\ln x}\).
- Możliwe, że nawet sprytny Bernoulli zadziała, ale ja nie próbowałem i póki co nie zamierzam.
Ostatnio zmieniony 2 sty 2023, o 14:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
Zademonstrujesz?Janusz Tracz pisze: ↑2 sty 2023, o 14:21 Można na kilka sposobów:
- Jensen dla wklęsłej funkcji \(\displaystyle{ x\ln x}\).
Dodano po 29 minutach 40 sekundach:
wsk: wklęsła jest funkcja `f(t)=((1-t)a+tb)\ln (ta+(1-t)b)` dla `0\le t\le 1`
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4075
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
Funkcja \(\displaystyle{ f=[\, x\mapsto x\ln x \,]}\) jest wklęsła zatem w szczególności z nierówności Jensena
\(\displaystyle{ f\left( \frac{a+b}{2} \right) \le \frac{f(a)+f(b)}{2} }\)
czyli \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2} \times \ln \frac{a+b}{2} \le \frac{a\ln a+b\ln b}{2} }\)
co dowodzi nierówności: \(\displaystyle{ \left( \frac{a+b}{2} \right)^{a+b} \ge a^a b^b}\). Z twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych mamy \(\displaystyle{ a\ln a+b\ln b \ge a\ln b+b\ln a.}\)
Zatem \(\displaystyle{ a^a b^b \ge a^b b^a}\).
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4075
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
Nie wiem czy czepiasz się nazwy czy kierunku nierówności? Dla mnie \(\displaystyle{ x^2}\) wklęsła jak miska. A nierówność dobrze chyba dałem.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
Właśnie `x^2` jest wypukłą. Napisałeś poprawną nierówność dla funkcji wypukłej, ale potem ją odwróciłeś.
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
Dla Ciebie może tak, ale definicje funkcji wypukłej i wklęsłej nie zależą od Twoich wyobrażeń. A zgodnie z nimi funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) jest wypukła.Janusz Tracz pisze: ↑2 sty 2023, o 16:58 Nie wiem czy czepiasz się nazwy czy kierunku nierówności? Dla mnie \(\displaystyle{ x^2}\) wklęsła jak miska.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
Szymon Wąsowicz namierzył skrypt jednej z wojskowych uczelni, gdzie `x^2` jest wklęsła.
Dodano po 1 minucie 28 sekundach:
NB nazwa funkcji wypukłej wzięła się z tego, że jej wykres ogranicza od dołu obszar wypukły.
Dodano po 1 minucie 28 sekundach:
NB nazwa funkcji wypukłej wzięła się z tego, że jej wykres ogranicza od dołu obszar wypukły.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4075
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
Faktycznie udowodniłem coś innego, a dokładnie \(\displaystyle{ \left( \frac{a+b}{2} \right)^{a+b} \le a^a b^b}\). Dzięki.
Od moich wyobrażeń może nie ale jakby to nazewnictwo było bardzo powszechnie ustalone i do tego jednoznaczne to nie było by nazw: wypukła w dół i wypukła w górę.Jan Kraszewski pisze: ↑2 sty 2023, o 17:02 Dla Ciebie może tak, ale definicje funkcji wypukłej i wklęsłej nie zależą od Twoich wyobrażeń.
PS nie chce zaczynać dyskusji nad wklęsłością i wypukłością. Błąd był w kierunku ostatniej nierówności. Wklęsłość i wypukłość to inny temat.
PPS mój post możesz więc zignorować. Bo udowodniłem coś innego przez swój błąd. Przepraszam.
-
- Administrator
- Posty: 34295
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
Nazewnictwo jest jak najbardziej jednoznaczne: funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) zawsze jest wypukła, a funkcja \(\displaystyle{ f(x)=-x^2}\) - wklęsła.Janusz Tracz pisze: ↑2 sty 2023, o 17:12nazewnictwo było bardzo powszechnie ustalone i do tego jednoznaczne to nie było by nazw: wypukła w dół i wypukła w górę.
Natomiast pojecie funkcji wypukłej może być szerzej rozumiane i stąd biorą się inne nazwy tych własności, czyli wypukła w dół (czyli wypukła) i wypukła w górę (czyli wklęsła).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1666
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Re: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
\(\frac{a+b}{2}\ge\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{b}{a+b}\cdot a+\frac{a}{a+b}\cdot b\ge a^{\frac{b}{a+b}}b^{\frac{a}{a+b}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych
Brawo
Dodano po 7 godzinach 39 minutach 39 sekundach:
Można też tak (choć pierwsza nierówność jest słabsza niż powyższa):
Dla `a<b` funkcja \(\displaystyle{ h(x)=a^{a+b-x}b^x=a^{a+b}\cdot \left(\frac ba\right)^x}\) jest ściśle rosnąca, więc
\(\displaystyle{ a^bb^a=h(a)<h\left(\frac{a+b}{2}\right)=\sqrt{ab}^{\ a+b}<\left(\frac{a+b}{2}\right)^{a+b}}\)