Wykaż nierówność

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Wykaż nierówność

Post autor: max123321 »

Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą większe od zera. Wykaż, że
\(\displaystyle{ a+b+c=6 \Rightarrow abc \le 8}\).

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wykaż nierówność

Post autor: Jan Kraszewski »

No proszę, przecież to bezpośredni wniosek z AM-GM.

JK
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3388
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 975 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Wykaż nierówność

Post autor: max123321 »

A nie ma jakiegoś elementarnego dowodu na poziomie szkoły średniej? Czyli
\(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3}=2 }\), zatem z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną mamy:
\(\displaystyle{ 2= \frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc} }\), a zatem
\(\displaystyle{ abc \le 8}\),
zgadza się?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wykaż nierówność

Post autor: Jan Kraszewski »

Zgadza się.

JK
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Wykaż nierówność

Post autor: Premislav »

Elementarny sposób:
podstawiamy \(\displaystyle{ c=6-a-b}\) i mamy do udowodnienia, że gdy \(\displaystyle{ a,b\ge 0, \ a+b\le 6}\), to
\(\displaystyle{ ab(6-a-b)\le 8.}\)
Teraz \(\displaystyle{ a+b\ge 2\sqrt{ab}}\), bo \(\displaystyle{ \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge 0}\), stąd
\(\displaystyle{ ab(6-(a+b))\le ab\left(6-2\sqrt{ab}\right)}\)
i mamy do wykazania nierówność wielomianową zmiennej \(\displaystyle{ t=\sqrt{ab}, \ t\in [0,3]}\):
\(\displaystyle{ t^2(6-2t)\le 8}\)
a to wystarczy przerzucić na jedną stronę i skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych lub ordynarnie zgadnąć rozkład.
Ja jednak myślę, że warto znać nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną.
Ostatnio zmieniony 16 maja 2023, o 23:12 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wykaż nierówność

Post autor: a4karo »

Można to zrobić również tak:
Jeżeli w trójce liczb `a\le b\le c` zastąpimy skrajne liczby przez ich średnią arytmetyczną, to suma się nie zmieni, a iloczyn (o ile tylko są różne) wzrośnie, bo \(\displaystyle{ \left(\frac{a+c}{2}\right)^2\ge ac}\).
Jeżeli będziemy iterować ten proces, to otrzymamy ciąg trójek liczb \(\displaystyle{ (a_n,b_n,c_n)}\) taki, że \(\displaystyle{ a_n\le b_n\le c_n, \ a_n+b_n+c_n=6}\) i ciag `a_nb_nc_n` jest niemalejący.
Pokażę, że \(\displaystyle{ (a_n,b_n,c_n)\to(2,2,2)}\)
Liczby `a_{n+1},b_{n+1},c_{n+1}` leżą w jednej połowie przedziału `(a_n,c_n)`, zatem \(\displaystyle{ c_{n+1}-a_{n+1}\le \frac12(c_n-a_n)}\). Stąd wniosek, że `c_n-a_n\le \frac{1}{2^n}(c-a)` i
\(\displaystyle{ 3a_n\le 6=a_n+b_n+c_n\le a_n+2c_n=3a_n+2(c_n-a_n)\le \frac{1}{2^{n-1}}(c-a)}\),
co pokazuje, że `a_n->2` a w konsekwencji `b_n,c_n\to2`.
Zatem \(\displaystyle{ abc\le a_nb_nc_n\nearrow 8}\), co kończy dowód
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: Wykaż nierówność

Post autor: timon92 »

gdy \(a\le b\le c\) i \(a+b+c=6\), to \(a\le 2\le c\), więc \((2-a)(c-2)\ge 0 \implies ac \le 2a+2c-4=2(4-b)\)

poza tym \((b-2)^2\ge 0 \implies (4-b)b\le 4\)

po zebraniu tego do kupy: \(abc \le 2(4-b)b \le 8\)
Dynia5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 28 maja 2023, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Wykaż nierówność

Post autor: Dynia5 »

timon92 pisze: 17 maja 2023, o 13:21 więc \((2-a)(c-2)\ge 0 \implies ac \le 2a+2c-4=2(4-b)\)

Może ktoś mnie wytłumaczyć tę implikacje?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wykaż nierówność

Post autor: Jan Kraszewski »

Implikacja \(\displaystyle{ (2-a)(c-2)\ge 0 \implies ac \le 2a+2c-4}\) jest dość oczywista - wymnóż nawiasy i przenieś na drugą stronę nierówności co trzeba.

Równość \(\displaystyle{ 2a+2c-4=2(4-b)}\) to z kolei inna wersja warunku \(\displaystyle{ a+b+c=6.}\)
Dynia5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 28 maja 2023, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Wykaż nierówność

Post autor: Dynia5 »

A to wyrażenie \(\displaystyle{ (b-2)^2\geq}\) to po co i skąd się wzięło?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wykaż nierówność

Post autor: Jan Kraszewski »

Dynia5 pisze: 10 cze 2023, o 11:39 A to wyrażenie \(\displaystyle{ (b-2)^2\geq}\) to po co i skąd się wzięło?
Skąd? Z wiedzy ogólnej - kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Po co? Bo była taka potrzeba (lub - jeśli wolisz- taki był pomysł na rozwiązanie tego zadania).

A umiejętność wymyślania takich rozwiązań to jedna z "mocy" timona92...

JK
Dynia5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 28 maja 2023, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Wykaż nierówność

Post autor: Dynia5 »

Ja nie pytam o prawdziwość tylko o to dlaczego to było potrzebne. A ty mnie nie wyjaśniasz tylko piszesz taki był pomysł na...
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wykaż nierówność

Post autor: Jan Kraszewski »

Nie bardzo rozumiem, jakiego wyjaśnienia oczekujesz. Przecież masz napisane rozwiązanie - czego w nim nie rozumiesz? Było potrzebne do takiego właśnie rozwiązania, które łączy ze sobą dwie nierówności, by otrzymać nierówność, która jest tezą.

JK
pesel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1707
Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 412 razy

Re: Wykaż nierówność

Post autor: pesel »

ODPOWIEDZ