Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a, b\in\mathbb{R}\ , \ a<b\leq -2}\). Uzasadnij nierówność:

\(\displaystyle{ a^2+\left(a+b\right)^2+b^2-a^3b^3<0}\)

Jakieś pomysły?

Żadnych, bo to nieprawda.

Przepraszam najmocniej, ale popełniłem błąd przy przepisywaniu. Teraz jest zgodnie z treścią.

Podziel obie strony przez `a^2b^2`

Nie bardzo widzę co ta wskazówka mi daje. Nadal mam postać sumy algebraicznej czynników o różnych znakach.

Spróbuj to napisać. Przenieś `ab` na jedną stronę. I pamiętaj o założeniach

\(\displaystyle{ \frac{2}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{b^2}-ab<0}\)

I teraz nie bardzo wiem jak wykorzystać założenia

Radziłem przenieść `ab` (czyli to, co jest z minusem) na drugą stronę. Potrafisz oszacować `ab` z dołu? A każdy z pozostałych składników z góry?

Z założenia mamy wniosek, że \(\displaystyle{ ab>4}\) (pozostałych szacowań nie bardzo widzę). Tak poza tym dlaczego akurat ten iloczyn ograniczamy od dołu, a pozostałe czynniki chcemy ograniczyć od góry?

Bo gdy chcesz jakieś wyrażenie oszacować od góry, to to, co dodajesz musisz ograniczać od góry, a to co odejmujesz od dołu.

Jeżeli `ab>4` to \(\displaystyle{ \frac 1{ab}<...}\).

\(\displaystyle{ \frac{1}{ab}<\frac{1}{4} \\
\frac{2}{ab}<\frac{1}{2}}\)

Zatem

\(\displaystyle{ \frac{2}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{b^2}<\frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{1}{2}}\)

Teraz co dalej?

Myśl zamiast pytac

Jeżeli \(\displaystyle{ a<-2}\) to \(\displaystyle{ a^2>4}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{a^2}<\frac{1}{4}}\). A co za tym idzie \(\displaystyle{ \frac{2}{a^2}<\frac{1}{2}}\). Podobne szacowanie uzyskam z \(\displaystyle{ b}\), ale nadal nie wiem co wniesie to do dowodu jeśli w sumie dodam te trzy szacunki.

BO zapomniałeś o tym czwartym. Myśl dalej

\(\displaystyle{ \frac{2}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{b^2}<\frac{7}{4}}\)

Dalej nie wiem.