Uzasadnić nierówność
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Uzasadnić nierówność
Niech \(\displaystyle{ a, b\in\mathbb{R}\ , \ a<b\leq -2}\). Uzasadnij nierówność:
\(\displaystyle{ a^2+\left(a+b\right)^2+b^2-a^3b^3<0}\)
Jakieś pomysły?
\(\displaystyle{ a^2+\left(a+b\right)^2+b^2-a^3b^3<0}\)
Jakieś pomysły?
Ostatnio zmieniony 3 lut 2023, o 17:20 przez 41421356, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Uzasadnić nierówność
Radziłem przenieść `ab` (czyli to, co jest z minusem) na drugą stronę. Potrafisz oszacować `ab` z dołu? A każdy z pozostałych składników z góry?
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Uzasadnić nierówność
Z założenia mamy wniosek, że \(\displaystyle{ ab>4}\) (pozostałych szacowań nie bardzo widzę). Tak poza tym dlaczego akurat ten iloczyn ograniczamy od dołu, a pozostałe czynniki chcemy ograniczyć od góry?
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Uzasadnić nierówność
Bo gdy chcesz jakieś wyrażenie oszacować od góry, to to, co dodajesz musisz ograniczać od góry, a to co odejmujesz od dołu.
Jeżeli `ab>4` to \(\displaystyle{ \frac 1{ab}<...}\).
Jeżeli `ab>4` to \(\displaystyle{ \frac 1{ab}<...}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Uzasadnić nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{ab}<\frac{1}{4} \\
\frac{2}{ab}<\frac{1}{2}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \frac{2}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{b^2}<\frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{1}{2}}\)
Teraz co dalej?
\frac{2}{ab}<\frac{1}{2}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \frac{2}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{b^2}<\frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{1}{2}}\)
Teraz co dalej?
-
- Użytkownik
- Posty: 541
- Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 497 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Uzasadnić nierówność
Jeżeli \(\displaystyle{ a<-2}\) to \(\displaystyle{ a^2>4}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{a^2}<\frac{1}{4}}\). A co za tym idzie \(\displaystyle{ \frac{2}{a^2}<\frac{1}{2}}\). Podobne szacowanie uzyskam z \(\displaystyle{ b}\), ale nadal nie wiem co wniesie to do dowodu jeśli w sumie dodam te trzy szacunki.