Uzasadnić nierówność
-
rizen
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 25 cze 2015, o 18:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Uzasadnić nierówność
Z założeń:
\(\displaystyle{
(b \le -2 \wedge a<-2) \Rightarrow ab > 4 \\
a<-2 \Rightarrow a^2>4 \\
b \le -2 \Rightarrow b^2 \ge 4 \\
}\)
\(\displaystyle{
2a^2+2b^2+2ab-a^3b^3<0 \\
a^3b^3 -2a^2 -2b^2 - 2ab > 0\\
(ab-1)^3 -2a^2-2b^2-5ab+3a^2b^2+1>0\\
(ab-1)^3 +a^2(b^2-2)+b^2(a^2-2) -5ab +a^2b^2+1>0\\
(ab-1)^3 +a^2(b^2-2)+b^2(a^2-2)+ ab(ab-4)-ab+1>0\\
(ab-1)^3 +a^2(b^2-2)+b^2(a^2-2) +ab(ab-4)-(ab-1)>0\\
(ab-1)(a^2b^2-2ab+1-1)+a^2(b^2-2)+b^2(a^2-2) +ab(ab-4)>0\\
ab(ab-1)(ab-2)+a^2(b^2-2)+b^2(a^2-2) +ab(ab-4)>0\\
}\)
Poprawne?
\(\displaystyle{
(b \le -2 \wedge a<-2) \Rightarrow ab > 4 \\
a<-2 \Rightarrow a^2>4 \\
b \le -2 \Rightarrow b^2 \ge 4 \\
}\)
\(\displaystyle{
2a^2+2b^2+2ab-a^3b^3<0 \\
a^3b^3 -2a^2 -2b^2 - 2ab > 0\\
(ab-1)^3 -2a^2-2b^2-5ab+3a^2b^2+1>0\\
(ab-1)^3 +a^2(b^2-2)+b^2(a^2-2) -5ab +a^2b^2+1>0\\
(ab-1)^3 +a^2(b^2-2)+b^2(a^2-2)+ ab(ab-4)-ab+1>0\\
(ab-1)^3 +a^2(b^2-2)+b^2(a^2-2) +ab(ab-4)-(ab-1)>0\\
(ab-1)(a^2b^2-2ab+1-1)+a^2(b^2-2)+b^2(a^2-2) +ab(ab-4)>0\\
ab(ab-1)(ab-2)+a^2(b^2-2)+b^2(a^2-2) +ab(ab-4)>0\\
}\)
Poprawne?
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22207
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3754 razy
Re: Uzasadnić nierówność
Poprawnie. Ale czy nie prościej tak:
\(\displaystyle{ \frac{2}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{b^2}<\frac12+\frac12+\frac12=\frac32}\)
a \(\displaystyle{ ab>4}\)
zatem
\(\displaystyle{ \frac{2}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{b^2}<ab}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{b^2}<\frac12+\frac12+\frac12=\frac32}\)
a \(\displaystyle{ ab>4}\)
zatem
\(\displaystyle{ \frac{2}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{b^2}<ab}\)
