Matematyka.pl

Witam.

Mam problem z następującym wyrażeniem, w którym chcę usunąć niewymierność z mianownika.

\(\displaystyle{ 1 \over {\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c}}}\)


Z góry dziękuję za pomoc

Masz konkretne liczby? Na razie szkoda udzielać ogólnych wskazówek. Generalnie chodzi o wzór postaci \(\displaystyle{ s^3-t^3=(s-t)(s^2+st+t^2)}\) bądź - w wersji pierwiastkowej \(\displaystyle{ \sqrt[3]{u}-\sqrt[3]{v}=\frac{u-v}{\sqrt[3]{u^2}+\sqrt[3]{uv}+\sqrt[3]{v^2}}}\).

Spróbuj dopasować: \(\displaystyle{ a=u^2,\;b=uv,\; c=v^2}\).

Trudniejszy (?) sposób:
Użyj wzoru:
\(\displaystyle{ \left( x+y+z\right) \left( x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} -xy-xz-yz\right) =x ^{3} +y ^{3} +z^{3} -3xyz}\)
gdzie \(\displaystyle{ x= \sqrt[3]{a}, y = \sqrt[3]{b},z= \sqrt[3]{c}}\)

Dzięki temu uzyskasz w mianowniku \(\displaystyle{ a+b+c +3\sqrt[3]{abc}}\)

Następnie wzór
\(\displaystyle{ (x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3}\)
gdzie \(\displaystyle{ x= a+b+c, y = 3\sqrt[3]{abc}}\)
zlikwiduje niewmierność w mianowniku.

Wyjdzie coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} } = \frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}-\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{ac}-\sqrt[3]{bc}}{a+b+c-3\sqrt[3]{abc} } =\\= \frac{( \sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}-\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{ac}-\sqrt[3]{bc} )( (a+b+c)^2-(a+b+c)3\sqrt[3]{abc}+9\sqrt[3]{(abc)^2})}{ (a+b+c)^3+27abc}}\)

Ale pewnie można to zrobić innaczej