Układ i potegi
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11417
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Układ i potegi
Pary `(2,3)` i `(3,2)` są oczywistymi rozwiązaniami. Żeby pokazać, że nie ma innych, zauważmy, że funkcja `x^x` jest ściśle wypukła, a więc wypukła jest też `(5-x)^{5-x}` oraz ich suma. A funkcja ściśle wypukła nie może przyjmować tej samej wartości więcej niż dwa razy
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11417
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: Układ i potegi
To zadanie z Quora
Jakieś inne pomysły
https://www.quora.com/How-can-I-solve-this-simultaneous-equation-X-Y-5-and-X-X-Y-Y-13-From-the-equation-I-know-that-X-2-while-Y-3-But-I-need-the-solution-please
Jakieś inne pomysły
-
- Użytkownik
- Posty: 1594
- Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 247 razy
Re: Układ i potegi
Ale po co ci inne rozwiązanie? W sensie jeśli możesz podać trywialne rozwiązanie które od razu widać i jesteś w stanie udowodnić, że nie ma innych to się liczy jako poprawne rozwiązanie.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Układ i potegi
Bo powyższe jest błędne.
\(\displaystyle{ x,y>0 \\ x^x+y^y \ge 2 \sqrt{x^xy^y} \ge 2\sqrt{( \frac{5}{2} )^{(5/2)}( \frac{5}{2} )^{(5/2)}} >13}\)
Brak rozwiązania.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Układ i potegi
To prawda. `3^3\ne 9`
Moje rozwiązanie (ze względu na symetrię względem 2.5) pokazuje że są dwa rozwiązania gdy prawa strona jest pomiędzy \(\displaystyle{ 5^5/2^4}\) i \(\displaystyle{ 5^5+1}\)
Moje rozwiązanie (ze względu na symetrię względem 2.5) pokazuje że są dwa rozwiązania gdy prawa strona jest pomiędzy \(\displaystyle{ 5^5/2^4}\) i \(\displaystyle{ 5^5+1}\)
Ostatnio zmieniony 24 lut 2024, o 17:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11417
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: Układ i potegi
Im więcej różnych rozwiązań problemu, to tym lepiej...Ale po co ci inne rozwiązanie?
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Układ i potegi
Raczej pomiędzy \(\displaystyle{ \frac{25 \sqrt{10} }{4} }\) i \(\displaystyle{ 5^5+1}\) dla dodatnich x,y.
PS
A dla niektórych dopuszczalne są rozwiązania typu:
\(\displaystyle{ (-1)^{-1}+6^6=6^6-1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1667
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Re: Układ i potegi
Nie ma rozwiązań dla \(x,y>0\).
Ponieważ \((a\ln a)''=(\ln a+1)'=\frac{1}{a}>0\), to z Jensena \(x\ln x+y\ln y\ge 2\cdot\left(\frac{x+y}{2}\right)\ln\left(\frac{x+y}{2}\right)\), więc \(x^xy^y\ge\left(\frac{x+y}{2}\right)^{x+y}\), co wraz z AM-GM daje \[13=x^x+y^y\ge 2\sqrt{x^xy^y}\ge 2\left(\frac{x+y}{2}\right)^{\frac{x+y}{2}}=2\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{5}{2}}>13.\]
Ostatnia nierówność to \(5^5=5\cdot 25^2>5\cdot 24\cdot 26>5\cdot 13\cdot 2\cdot 13>2^3\cdot 13^2\).
Ponieważ \((a\ln a)''=(\ln a+1)'=\frac{1}{a}>0\), to z Jensena \(x\ln x+y\ln y\ge 2\cdot\left(\frac{x+y}{2}\right)\ln\left(\frac{x+y}{2}\right)\), więc \(x^xy^y\ge\left(\frac{x+y}{2}\right)^{x+y}\), co wraz z AM-GM daje \[13=x^x+y^y\ge 2\sqrt{x^xy^y}\ge 2\left(\frac{x+y}{2}\right)^{\frac{x+y}{2}}=2\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{5}{2}}>13.\]
Ostatnia nierówność to \(5^5=5\cdot 25^2>5\cdot 24\cdot 26>5\cdot 13\cdot 2\cdot 13>2^3\cdot 13^2\).