Matematyka.pl

Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=5 \\ x^x+y^y = 13 \end{cases}}\)

Pary `(2,3)` i `(3,2)` są oczywistymi rozwiązaniami. Żeby pokazać, że nie ma innych, zauważmy, że funkcja `x^x` jest ściśle wypukła, a więc wypukła jest też `(5-x)^{5-x}` oraz ich suma. A funkcja ściśle wypukła nie może przyjmować tej samej wartości więcej niż dwa razy

To zadanie z Quora
https://www.quora.com/How-can-I-solve-this-simultaneous-equation-X-Y-5-and-X-X-Y-Y-13-From-the-equation-I-know-that-X-2-while-Y-3-But-I-need-the-solution-please
Jakieś inne pomysły

Ale po co ci inne rozwiązanie? W sensie jeśli możesz podać trywialne rozwiązanie które od razu widać i jesteś w stanie udowodnić, że nie ma innych to się liczy jako poprawne rozwiązanie.

Gouranga pisze: ↑24 lut 2024, o 11:23 Ale po co ci inne rozwiązanie?

Bo powyższe jest błędne.


\(\displaystyle{ x,y>0 \\ x^x+y^y \ge 2 \sqrt{x^xy^y} \ge 2\sqrt{( \frac{5}{2} )^{(5/2)}( \frac{5}{2} )^{(5/2)}} >13}\)
Brak rozwiązania.

To prawda. `3^3\ne 9`
Moje rozwiązanie (ze względu na symetrię względem 2.5) pokazuje że są dwa rozwiązania gdy prawa strona jest pomiędzy \(\displaystyle{ 5^5/2^4}\) i \(\displaystyle{ 5^5+1}\)

Ale po co ci inne rozwiązanie?

Im więcej różnych rozwiązań problemu, to tym lepiej...

a4karo pisze: ↑24 lut 2024, o 13:10 Moje rozwiązanie (ze względu na symetrię względem 2.5) pokazuje że są dwa rozwiązania gdy prawa strona jest pomiędzy \(\displaystyle{ 5^5/2^4}\) i \(\displaystyle{ 5^5+1}\)

Raczej pomiędzy \(\displaystyle{ \frac{25 \sqrt{10} }{4} }\) i \(\displaystyle{ 5^5+1}\) dla dodatnich x,y.


PS
A dla niektórych dopuszczalne są rozwiązania typu:
\(\displaystyle{ (-1)^{-1}+6^6=6^6-1}\)

Więc skoro brak rozwiązania to innych rozwiązań też brak...

Nie ma rozwiązań dla \(x,y>0\).
Ponieważ \((a\ln a)''=(\ln a+1)'=\frac{1}{a}>0\), to z Jensena \(x\ln x+y\ln y\ge 2\cdot\left(\frac{x+y}{2}\right)\ln\left(\frac{x+y}{2}\right)\), więc \(x^xy^y\ge\left(\frac{x+y}{2}\right)^{x+y}\), co wraz z AM-GM daje \[13=x^x+y^y\ge 2\sqrt{x^xy^y}\ge 2\left(\frac{x+y}{2}\right)^{\frac{x+y}{2}}=2\cdot\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{5}{2}}>13.\]
Ostatnia nierówność to \(5^5=5\cdot 25^2>5\cdot 24\cdot 26>5\cdot 13\cdot 2\cdot 13>2^3\cdot 13^2\).