Ile rozwiązan ma układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y^2+z^4=0 \\ y+z^2+x^4=0 \\ z+x^2+y^4=0 \end{cases}}\)
?
Układ i potegi
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11426
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Re: Układ i potegi
Pokażemy, że to równanie ma dwa rozwiązania.
Z pierwszego z równań mamy natychmiast \(\displaystyle{ x \le 0}\), podobnie i inne zmienne są nieujemne.
Z racji, że układ równań jest cykliczny, bez straty ogólności możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ x}\) jest najmniejszą liczbą spośród liczb \(\displaystyle{ x, y, z}\).
Sprawdźmy zatem dwa przypadki.
a) \(\displaystyle{ x \le y \le z \le 0}\)
Z tego wynikają następujące trzy zależności:
\(\displaystyle{ x \le y \le z \\ z^2 \le y^2 \le x^2 \\ z^4 \le y^4 \le x^4}\)
Przyglądając się naszym równaniom i powyższym nierównościom, szybko zauważamy, że np. \(\displaystyle{ x + y^2 + z^4 \le z + x^2 + y^4}\), ponieważ każdy ze składników po lewej stronie jest mniejszy bądź równy odpowiedniemu składnikowi po prawej stronie.
Ponieważ jednak, zgodnie z naszym układem równań, obie strony powyższej nierówności wynoszą \(\displaystyle{ 0}\), oznacza to, że w każdej z trzech wspomnianych nierówności musi zachodzić równość, co przy nieujemności naszych niewiadomych oznacza, że \(\displaystyle{ x=z}\), \(\displaystyle{ y=x}\), \(\displaystyle{ z=y}\), tzn. \(\displaystyle{ x=y=z}\).
b) \(\displaystyle{ x \le z \le y \le 0}\)
Dostajemy tu podobną nierówność jak wcześniej, np. \(\displaystyle{ x + y^2 + z^4 \le y + z^2 + x^4}\), co analogicznie doprowadza do tego, że \(\displaystyle{ x=y=z}\).
Podsumowując oba przypadki, jedyne rozwiązania możemy dostać jedynie dla sytuacji, gdy \(\displaystyle{ x=y=z}\). To sprowadza układ równań do \(\displaystyle{ x+x^2+x^4=0}\), co po rozłożeniu do formy \(\displaystyle{ x(x^3+x+1)=0}\) i zauważeniu, że funkcja w nawiasie jest ściśle rosnącym wielomianem nieparzystego stopnia (bo \(\displaystyle{ a>b \Rightarrow a^3>b^3}\)), daje nam wniosek, że nasz układ równań ma dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) rozwiązania. Jednym z nich jest \(\displaystyle{ x=y=z=0}\), a drugim jest \(\displaystyle{ x=y=z=x_0}\), gdzie \(\displaystyle{ x_0 \ne 0}\) jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^3+x+1}\).
Z pierwszego z równań mamy natychmiast \(\displaystyle{ x \le 0}\), podobnie i inne zmienne są nieujemne.
Z racji, że układ równań jest cykliczny, bez straty ogólności możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ x}\) jest najmniejszą liczbą spośród liczb \(\displaystyle{ x, y, z}\).
Sprawdźmy zatem dwa przypadki.
a) \(\displaystyle{ x \le y \le z \le 0}\)
Z tego wynikają następujące trzy zależności:
\(\displaystyle{ x \le y \le z \\ z^2 \le y^2 \le x^2 \\ z^4 \le y^4 \le x^4}\)
Przyglądając się naszym równaniom i powyższym nierównościom, szybko zauważamy, że np. \(\displaystyle{ x + y^2 + z^4 \le z + x^2 + y^4}\), ponieważ każdy ze składników po lewej stronie jest mniejszy bądź równy odpowiedniemu składnikowi po prawej stronie.
Ponieważ jednak, zgodnie z naszym układem równań, obie strony powyższej nierówności wynoszą \(\displaystyle{ 0}\), oznacza to, że w każdej z trzech wspomnianych nierówności musi zachodzić równość, co przy nieujemności naszych niewiadomych oznacza, że \(\displaystyle{ x=z}\), \(\displaystyle{ y=x}\), \(\displaystyle{ z=y}\), tzn. \(\displaystyle{ x=y=z}\).
b) \(\displaystyle{ x \le z \le y \le 0}\)
Dostajemy tu podobną nierówność jak wcześniej, np. \(\displaystyle{ x + y^2 + z^4 \le y + z^2 + x^4}\), co analogicznie doprowadza do tego, że \(\displaystyle{ x=y=z}\).
Podsumowując oba przypadki, jedyne rozwiązania możemy dostać jedynie dla sytuacji, gdy \(\displaystyle{ x=y=z}\). To sprowadza układ równań do \(\displaystyle{ x+x^2+x^4=0}\), co po rozłożeniu do formy \(\displaystyle{ x(x^3+x+1)=0}\) i zauważeniu, że funkcja w nawiasie jest ściśle rosnącym wielomianem nieparzystego stopnia (bo \(\displaystyle{ a>b \Rightarrow a^3>b^3}\)), daje nam wniosek, że nasz układ równań ma dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) rozwiązania. Jednym z nich jest \(\displaystyle{ x=y=z=0}\), a drugim jest \(\displaystyle{ x=y=z=x_0}\), gdzie \(\displaystyle{ x_0 \ne 0}\) jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^3+x+1}\).