Niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) będą liczbami całkowitymi. Udowodnij, że: \(\displaystyle{ M=(a+b)^{4}-2(a^{2}+b^{2})(a+b)^{2}+2(a^{4}+b^{4})}\) jest kwadratem liczby naturalnej.
Dziękuje za pomoc
udowodnij, że jest to kwadrat l.naturalnej
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
udowodnij, że jest to kwadrat l.naturalnej
\(\displaystyle{ (a+b)^{4}-2(a^{2}+b^{2})(a+b)^{2}+2(a^{4}+b^{4}) = \\ =
(a+b)^2 (a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2)+2(a^4+b^4) = \\ =
(a+b)^2 (-(a-b)^2) +2(a^4+b^4) = \\ =
-(a^2-b^2)^2+2(a^4+b^4) = \\ =
-a^4 +2a^2b^2-b^4+2a^4+2b^4 = \\ =
a^4+2a^2b^2+b^4 = (a^2+b^2)^2}\)
Q.
(a+b)^2 (a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2)+2(a^4+b^4) = \\ =
(a+b)^2 (-(a-b)^2) +2(a^4+b^4) = \\ =
-(a^2-b^2)^2+2(a^4+b^4) = \\ =
-a^4 +2a^2b^2-b^4+2a^4+2b^4 = \\ =
a^4+2a^2b^2+b^4 = (a^2+b^2)^2}\)
Q.