Matematyka.pl

Udowodnij że
\(\displaystyle{ x ^{4} -x+1 >0}\)

zastanawiam się czy mogę to w ten sposób zrobić:
rozważam 4 przedziały wartości x

I
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in (- \infty;-1>} x^{4}-x \geqslant 2}\)
II
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in (-1;0>} x^{4}-x \geqslant 0}\)
III
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in <0,1)}x^{4}-x >-1}\)
IV
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{x\in <1; \infty)} x^{4}-x \geqslant 0}\)

teraz widzimy że minimum wartości tego wyrazenia przypada na III przypadek lecz on i tak jest większy od -1 czyli gdy dodamy do niego 1 bedzie wiekszy od 0

czy moge tak zrobić ?

Jak dla mnie jest ok, niedawno robiłem podobne zadanie i w ten sam sposób.

Sposób OK, tylko mała dygresja, jeśli poznacie pojęcie pochodnej funkcji zadanie pójdzie od ręki, tzn.:
\(\displaystyle{ f(x)=x^4-x+1 \\ f'(x)=4x^3-1 \\ f'(x)=0 \iff x=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}}\)
zatem w tym punkcie mamy minimum funkcji (tak skrótowo), ale:
\(\displaystyle{ f(\frac{\sqrt[3]{2}}{2})=-\frac{6\sqrt[3]{2}}{16}+1>1-\frac{12}{16}>0}\)

Rzeczwyiście ładnie poszło, sam znam pochodne ale używałem tylko do Jensena

ja niestety jeszcze pochodnych sobie nie brałem... no ale widze że trzeba się podszkolić bo przydatne są:)

No to jak nam dobrze idzie :

\(\displaystyle{ x^4+1>|x|^4+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \geqslant 4 \sqrt[4]{\frac{|x|^4}{64}} \geqslant 4 \sqrt[4]{\frac{|x|^4}{256}} = |x| \geqslant x}\)

Co należało udowodnić

Albo w ten sposób:
\(\displaystyle{ x^4 - x + 1 = x^4 - x^2 + \frac{1}{4} + x^2 - x + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \left(x^2 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} > 0}\)

Dla `x<1` pierwszy składnik w `x^4+(1-x)` jest nieujemny, a drugi dodatni.
Dla `x\ge 1` pierwszy składnik w `(x^4-x)+1` jest nieujemny, a drugi dodatni.