Matematyka.pl

Rozwiązać
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{x}+ \sqrt{y}+ \sqrt{z}=4 \\ x+y+z=6 \\ x^2+y^2+z^2 = 18 \end{cases} }\)

Gdy przyjmę podstawienie \(\displaystyle{ (\sqrt{x}=u+v) \ \ \wedge \ \ (\sqrt{y}=u-v)}\) to z pierwszego równania mam \(\displaystyle{ \sqrt{z}=4-2u}\) , a drugie równanie przekształcam do postaci \(\displaystyle{ v^2=-3u^2+8u-5}\).
Przy powyższym trzecie równanie ma postać:
\(\displaystyle{ -4(4u^3-16u^2+21u-9)=0\\
-4(u-1)(2u-3)^2=0}\)
Dla \(\displaystyle{ u=1}\) rozwiązaniem jest trójka \(\displaystyle{ (1,1,4)}\) , a dla \(\displaystyle{ u= \frac{3}{2} }\) rozwiązania to \(\displaystyle{ (1,4,1)}\) i \(\displaystyle{ (4,1,1)}\)