Matematyka.pl

uklad

wyliczając z układów odpowiednio y,z,x widać że to jest jakoś powiazane ze wzorem na \(\displaystyle{ tg(2\alpha)}\) podstaw że \(\displaystyle{ x=tg(a)}\) \(\displaystyle{ y=tg(b)}\) \(\displaystyle{ z=tg(c)}\)i powinno wyjść. no wychodzi że \(\displaystyle{ y=tg(2\alpha)}\) \(\displaystyle{ z=tg(4\alpha)}\) \(\displaystyle{ x=tg(8\alpha)}\) (widać to z przekształceń każdego równań, podstawiania jakie podałem wyżej nie są jednak konieczne.)
no i mamy równanie \(\displaystyle{ tg(8\alpha)=tg(\alpha)}\)

wogole nie kapuje dlaczego tak zrobiles
prosze aby ktos to dokladnie i krok po kroku wytlumaczyl

możemy przekształcić te równania do postaci odpowiednio :
\(\displaystyle{ y=\frac{2 x}{1-x^2}}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{2 y}{1-y^2}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{2 z}{1-z^2}}\) to jest chyba jasne po prost wyliczam z 1. równania y z drugiego z, a z trzeciego x.
podstawiam \(\displaystyle{ x=tg(\alpha)}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha\in (\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})}\) różne od \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{-\pi}{4}}\) (aby mianownik się nie zerował , mogę tak podstawić bo \(\displaystyle{ tg(\alpha)}\)przy tych założeniach może osiągać dowolną wartość. Czyli prawa strona naszego 1. równania przyjmuje postać \(\displaystyle{ \frac{2tg(\alpha)}{1-(tg(\alpha))^2}}\) a to jest równe \(\displaystyle{ tg(2\alpha)}\) czli \(\displaystyle{ y=tg(2\alpha)}\) a teraz podstawiając \(\displaystyle{ y=tg(2\alpha)}\) (bo ta równośc jako pokazane wyzej wynika z podstawienia \(\displaystyle{ x=tg(\alpha)}\) no to prawa strona 2. równania będzie miała postać \(\displaystyle{ \frac{2tg(2\alpha)}{1-(tg(2\alpha))^2}}\) czli znów korzystając ze wzoru na tangens dwu krotności kąta mamy że \(\displaystyle{ z= tan(4\alpha)}\) a podstawiając to do trzeciego równania w zamian za z otrzymujemy równość \(\displaystyle{ x=tg(8\alpha)}\)no to w końcu mamy równanie \(\displaystyle{ tg(\alpha)=tg(8\alpha)}\) lewa strona to pierwotne podstawienie a prawa to wynik ostatniej równości z tego równania mamy że \(\displaystyle{ 8\alpha=\alpha +n\pi}\) gdzie n jest liczba całkowitą i rozwiązania to \(\displaystyle{ x=tg(n\frac{\pi}{7})}\)
\(\displaystyle{ y=tg(n\frac{2\pi}{7})}\)
\(\displaystyle{ z=tg(n\frac{4\pi}{7})}\) dla dowolnego n ( jednak rozwiązania będą się powtarzać ) zapewne będzie ostatecznie "tylko" siedem rozwiązań

i te 7 rozwiazan trzeba wyznaczac skad waidomo jakie maja byc

[ Dodano: 6 Listopad 2006, 17:44 ]
rozwiązaniem jest trójka liczb \(\displaystyle{ (x,y,z)=(tg(n\frac{\pi}{7}),tg(n\frac{2\pi}{7})
,tg(n\frac{4\pi}{7}))}\) dla dowolnego n należącego do liczb całkowitych.

ale przeciesz kat alfa ma nalezec od (-pi/2; pi/2) czyli dla kazdego n nie bedzie dobre, tak wiec sa okreslone rozwiazania skonczone

no tak założyłem ( nie ma to chyba jakiejś znacznej wagi , chyba ) ale słuszna uwaga . Założenie to wyeliminowało właśnie powtórki(w tym przedziale tangens jest bijekcją) . czyli trzeba dobrać \(\displaystyle{ n}\) tak aby \(\displaystyle{ \alpha}\) (\(\displaystyle{ =n \frac{\pi}{7}}\)) należało do wcześniejustalonego przedziału czyli \(\displaystyle{ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})}\) czyli to będzie n od -3 do 3 czyli konkretnie wartości \(\displaystyle{ {-3,-2-1,0,1,2,3}}\)

fajne rozwiazanie z tym tangensem:0 a zna moze ktos jakis inny sposob, zeby to rozwizac??

[ Dodano: 5 Grudzień 2006, 16:44 ]
jeszcze by trzeba bylo zalozyc gdy sie przeksztalca rownania ze na przyklad y^2 - 10 , czyli tangens rozny od 1 lub od -1, czyli pi/4 lub -pi/4
poprosilbym o jakies podsumowanie tych rozwiazan itp