Wyszło mi:
\(\displaystyle{ 2n-H_{n}}\)
Dodano po 25 minutach 23 sekundach:
\(\displaystyle{ \left( H_{n}-H_{n-1}\right)^2+\left( H_{n}-H_{n-2}\right)^2+...+\left( H_{n}-H_{1}\right)^2+H_{n}^2=}\)
\(\displaystyle{ =nH_{n}^2+ \sum_{i=1}^{n-1} H_{i}^2-2H_{n} \sum_{i=1}^{n-1}H_{i} =nH_{n}^2+nH_{n-1}^2-(2n-1)H_{n-1}+2n-2-2H_{n}\left( nH_{n-1}-n+1\right) }\)
\(\displaystyle{ =nH_{n}^2+nH_{n-1}^2-2nH_{n-1}+H_{n-1}+2n-2-2nH_{n}H_{n-1}+2nH_{n}-2H_{n}=2-H_{n-1}- \frac{2}{n} + 2n-2+ \frac{1}{n}=2n-H_{n} }\)
Dodano po 2 minutach 42 sekundach:
Skorzystałem z gotowca na sumę n wyrazów ciągu harmonicznego i sumę kwadratów n wyrazów ciągu arytmetycznego co łatwo udowodnić...
Dodano po 4 minutach 50 sekundach:
Można chyba i z tego policzyć;
\(\displaystyle{ H_{n}= \int_{0}^{1} \frac{1-x^n}{1-x} dx }\)