Matematyka.pl

Wyszło mi:

\(\displaystyle{ 2n-H_{n}}\)

Dodano po 25 minutach 23 sekundach:
\(\displaystyle{ \left( H_{n}-H_{n-1}\right)^2+\left( H_{n}-H_{n-2}\right)^2+...+\left( H_{n}-H_{1}\right)^2+H_{n}^2=}\)

\(\displaystyle{ =nH_{n}^2+ \sum_{i=1}^{n-1} H_{i}^2-2H_{n} \sum_{i=1}^{n-1}H_{i} =nH_{n}^2+nH_{n-1}^2-(2n-1)H_{n-1}+2n-2-2H_{n}\left( nH_{n-1}-n+1\right) }\)

\(\displaystyle{ =nH_{n}^2+nH_{n-1}^2-2nH_{n-1}+H_{n-1}+2n-2-2nH_{n}H_{n-1}+2nH_{n}-2H_{n}=2-H_{n-1}- \frac{2}{n} + 2n-2+ \frac{1}{n}=2n-H_{n} }\)

Dodano po 2 minutach 42 sekundach:
Skorzystałem z gotowca na sumę n wyrazów ciągu harmonicznego i sumę kwadratów n wyrazów ciągu arytmetycznego co łatwo udowodnić...

Dodano po 4 minutach 50 sekundach:
Można chyba i z tego policzyć;

\(\displaystyle{ H_{n}= \int_{0}^{1} \frac{1-x^n}{1-x} dx }\)

Dane są liczby rzeczywiste \(A,B,C,D,a,b\), takie że \(a<b\). Rozważmy funkcję \(f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D\) zmiennej rzeczywistej \(x\in [a,b]\). Niech ponadto \(f(a)\ge 0\) oraz \(f(b)\ge 0\).
Wykaż, że jednoczesna nieujemność wyrażeń \(3Aab^2+B(2a+b)b+C(a+2b)+3D\) oraz \(3Aa^2b+B(a+2b)a+C(2a+b)+3D\) pociąga za sobą \(f(x)\ge 0\) dla wszystkich \(x\in [a,b]\) i że implikacja przeciwna nie jest w ogólności prawdziwa.

gdy \(x=at+bs\), gdzie \(s\ge 0, t\ge 0, s+t=1\), to \[f(x)=t^3f(a)+s^3f(b)+t^2s(3Aa^2b+B(a+2b)a+C(2a+b)+3D)+ts^2(3Aab^2+B(2a+b)b+C(a+2b)+3D)\ge 0\]