Nie czytałem powyższego, ale indukcję chyba można ominąć, wystarczy konsekwentne zastosowanie nierówności wybitnego polskiego uczonego poliamorysty.
Ukryta treść:
Odnotujmy, że primo, jeśli \(\displaystyle{ x, \ y, \ z, \ t\in [-1,1]}\), to również \(\displaystyle{ xz\in [-1,1], \ yt\in [-1,1]}\), raczej jest to jasne, bo \(\displaystyle{ |xz|=|x|\cdot |z|}\) etc. Secundo, wykażmy, że jeśli \(\displaystyle{ x, \ y, \ z, \ t\in [-1,1]}\), to \(\displaystyle{ |x-y|+|z-t|\ge |xz-yt|.}\)
Istotnie, mamy \(\displaystyle{ |xz-yt|=|(x-y)z+(z-t)y|\le |(x-y)z|+|(z-t)y|}\) z nierówności trójkąta i dalej korzystamy z \(\displaystyle{ |y|\le 1, \ |z|\le 1}\).
Powtarzamy \(\displaystyle{ n-1}\) razy ten chwyt (dla ustalonego ena), w k-tym kroku, \(\displaystyle{ k\in \left\{1, \ldots n-1\right\}}\), biorąc \(\displaystyle{ x=\prod_{i=1}^{k}a_i, \ y=\prod_{i=1}^kb_i, \ z=a_{k+1}, \ t=b_{k+1}}\) i mamy tezę.
Pytanie do omgimba mnogościowców: a może ja tu korzystam z indukcji, tylko niejawnie? Jeśli tak, to gdzie?
