Matematyka.pl

Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} j = \sum_{j=1}^{n} (n-j+1)j}\)
Z lewej strony wyszło mi, że:
\(\displaystyle{ L= \sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} j = \sum_{k=1}^{n} \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)}{2}}\)
A z prawej:
\(\displaystyle{ P= \sum_{j=1}^{n} (n-j+1)j = \sum_{j=1}^{n} (nj - j^2 + j) = \frac{n^2(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}}\)
No i tu mam sprzeczność tyle, że treść zadania jej nie dopuszcza, czyli musiałem coś popsuć

Cambrinus pisze:Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} j = \sum_{j=1}^{n} (n-j+1)j}\)
Z lewej strony wyszło mi, że:
\(\displaystyle{ L= \sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} j = \sum_{k=1}^{n} \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)}{2}}\)
A z prawej:
\(\displaystyle{ P= \sum_{j=1}^{n} (n-j+1)j = \sum_{j=1}^{n} (nj - j^2 + j) = \frac{n^2(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}}\)
No i tu mam sprzeczność tyle, że treść zadania jej nie dopuszcza, czyli musiałem coś popsuć

Jest to nieprawda, gdyż
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} j = n \sum_{j=1}^{n} j= \sum_{j=1}^{n} nj}\)

a po prawej stronie mamy \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n} (n-j+1)j=\sum_{j=1}^{n} nj - \sum_{j=1}^{n} (j-1)j}\) a czynnik odejmowany zerem nie jest (dla \(\displaystyle{ n\neq 0, 1}\)).
Może coś źle przepisałeś?

Przepisałem poprawnie, więc to raczej pomyłka autora zbioru. I chyba wiem nawet jaka dla :
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} j}\)
Równość (chyba) zachodzi.

Chyba chodziło o
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \sum_{j=1}^{k} j}\)

Oczywiście masz rację. Jeszce pod ten temat się podepnę, czy mógłbyś mi dać jakąś wskazówkę jak dowieść tożsamość Czebyszewa:
\(\displaystyle{ (\sum_{i=1}^{n}a_{i}) (\sum_{i=1}^{n} b_{i})= n \cdot \sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i} - \sum_{1 \le i<j \le n}^{}(a_{i}-a_{j})(b_{i}-b_{j})}\)

1.sposób: Dowód indukcyjny,
2.sposób: Przenieś drugą sumę z prawej strony na lewą,"zlikwiduj nawiasy",a po redukcji otrzymasz,co pozostało po prawej stronie.