Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{20-14 \sqrt{2} }+ \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} }}\)

Sprawdź czy dana liczba jest liczba wymierna. Oblicz ją

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}} = x/^3}\)

\(\displaystyle{ 20-14\sqrt{2}+20+14\sqrt{2}+3\sqrt[3]{(20+14\sqrt{2})(20-14\sqrt{2})}x = x^3}\)

\(\displaystyle{ 40+3\sqrt[3]{8}x=x^3}\)

\(\displaystyle{ x^3-6x-40=0}\)

Korzystając z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach, znajdujemy, że jednym z pierwiastków jest 4, korzystając następnie z twierdzenia Bezout'a (dzieląc dany wielomian przez x-4) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ (x-4)(x^2+4x+10)=0}\)

2 czynnik ma deltę mniejszą od 0, więc jedynym rozwiązaniem jest 4, tak więc wyrażenie jest liczbą wymierną

Pozdrawiam.

dzięki wielkie

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{20-14 \sqrt{2} }+ \sqrt[3]{20+14 \sqrt{2} }}\)
Jeden składnik sumy możemy zapisać jako :
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{20-14 \sqrt{2}} = \sqrt[3]{20 - 12\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}=\sqrt[3]{8 + 12 - 3 * 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2}} = \sqrt[3]{8 - 3 * 4\sqrt{2} + 3 * 2 * 2 - 2\sqrt{2}} = \sqrt[3]{2^{3} - 3 * 2^{2} * \sqrt{2} + 3 * 2 * (\sqrt{2})^{2} - (\sqrt{2})^{3}}=\sqrt[3]{(2-\sqrt{2})^{3}}=2-\sqrt{2}}\)

To jest rozpisane bardzo szczegółowo, na kartce zajmuje to mniej miejsca. Z drugim składnikiem sumy postąpić trzeba tak samo, tylko wynik końcowy będzie różnił się znakiem. Będzie \(\displaystyle{ 2+\sqrt{2}}\). Po zsumowaniu otrzymamy wynik \(\displaystyle{ 4}\).