Równania, w których występują pierwiastki 3 stopnia

radzak · Post autor: **radzak** » 7 sty 2016, o 12:58

Witam, proszę o pomoc z następującym równaniem:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{24 + \sqrt{x}} - \sqrt[3]{5 + \sqrt{x}} = 1}\)

Jaka jest metoda na rozwiązywanie równań tego typu?

Z góry dziękuję za pomoc.

Qń · Post autor: Qń » 7 sty 2016, o 13:05

Jeśli położymy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{24 + \sqrt{x}}=u , \sqrt[3]{5 + \sqrt{x}}=t}\), to otrzymamy prosty układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} u-t=1 \\ u^3-t^3=19 \end{cases}}\)

Q.

kerajs · Post autor: **kerajs** » 7 sty 2016, o 13:06

Inaczej:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{24 + \sqrt{x}} - \sqrt[3]{5 + \sqrt{x}} = 1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{24 + \sqrt{x}}=1+ \sqrt[3]{5 + \sqrt{x}} =}\)
\(\displaystyle{ 24+ \sqrt{x}=1+3 \sqrt[3]{5 + \sqrt{x}}+3 \left( \sqrt[3]{5 + \sqrt{x}}
\right)^2+5+ \sqrt{x} \\
24+ \sqrt{x}=1+3 \sqrt[3]{5 + \sqrt{x}}+3 \left( \sqrt[3]{5 + \sqrt{x}}
\right)^2+5+ \sqrt{x} \\
18=3 \sqrt[3]{5 + \sqrt{x}}+3 \left( \sqrt[3]{5 + \sqrt{x}}
\right)^2}\)
podstawienie \(\displaystyle{ t=\sqrt[3]{5 + \sqrt{x}}}\) daje równanie:
\(\displaystyle{ 18=3t+3t^2}\)

radzak · Post autor: **radzak** » 7 sty 2016, o 13:10

Bardzo dziękuję za szybkie odpowiedzi, postaram się rozwiązać następne zadania podanymi przez Was sposobami.