Hej Mam problem, mianowicie nie wiem w jaki sposób wynika poniższa równość? Skąd wzięła się ta 3 przed nawiasem i dlaczego zmienił się wzór iloczynu? Czy ktoś mógłby mi pomóc to wyjaśnić, lub napisać jakie przekształcenia wykonano?
\(\displaystyle{ \prod_{k=2}^{2001} \frac{(k-1)(k+1)}{k^{2}}=3\left[\prod_{k=2}^{2000} \frac{k(k+2)}{k^{2}}\right] \cdot \frac{1}{2001^{2}}}\)
Przekształcenie iloczynu
-
- Użytkownik
- Posty: 487
- Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 226 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 22224
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3757 razy
Re: Przekształcenie iloczynu
LIcznik lewej strony to
\(\displaystyle{ 1\cdot 3\cdot 2\cdot 4\cdot 3\cdot5\cdot 4\cdot 6\dots1999\cdot2001\cdot 2000\cdot 2002}\).
A prawej???
\(\displaystyle{ 1\cdot 3\cdot 2\cdot 4\cdot 3\cdot5\cdot 4\cdot 6\dots1999\cdot2001\cdot 2000\cdot 2002}\).
A prawej???
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Przekształcenie iloczynu
Nietrudno udowodnić indukcyjnie, że
\(\displaystyle{ \prod_{k=2}^{n} \frac{(k-1)(k+1)}{k^{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n}}\)
dla \(\displaystyle{ n>2}\),
bo ten iloczyn się w prosty sposób teleskopuje (można popatrzeć na iloczyn trzech kolejnych czynników).
Poza tym \(\displaystyle{ \prod_{k=2}^{n} \frac{k(k+2)}{k^2}}\) to jest z dokładnością do jakiegoś czynnika iloraz silni podwójnych, np. \(\displaystyle{ \prod_{k=2}^{2000} \frac{k(k+2)}{k^2} =\frac{1}{2}\cdot \frac{(2002)!!}{(2000)!!}=1001}\)
Ale pomysł a4karo jest prostszy.
\(\displaystyle{ \prod_{k=2}^{n} \frac{(k-1)(k+1)}{k^{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n}}\)
dla \(\displaystyle{ n>2}\),
bo ten iloczyn się w prosty sposób teleskopuje (można popatrzeć na iloczyn trzech kolejnych czynników).
Poza tym \(\displaystyle{ \prod_{k=2}^{n} \frac{k(k+2)}{k^2}}\) to jest z dokładnością do jakiegoś czynnika iloraz silni podwójnych, np. \(\displaystyle{ \prod_{k=2}^{2000} \frac{k(k+2)}{k^2} =\frac{1}{2}\cdot \frac{(2002)!!}{(2000)!!}=1001}\)
Ale pomysł a4karo jest prostszy.