Matematyka.pl

Wykaż, że:

jeśli \(\displaystyle{ \frac{a}{b-c} + \frac{b}{c-a} + \frac{c}{a-b} = 0}\), gdzie \(\displaystyle{ a \neq b}\), \(\displaystyle{ b \neq c}\), i \(\displaystyle{ a \neq c}\),

to \(\displaystyle{ \frac{a}{(b-c)^2} + \frac{b}{(c-a)^2} + \frac{c}{(a-b)^2} = 0}\)

Jakiś pomysł ? Próbowałem podnieść wyrażenie z lewej strony do kwadratu czy też mnożąc obustronnie przez :

\(\displaystyle{ \frac{1}{(b-c)(c-a)(a-b)}}\), ale nie mogę sobie z tym poradzić.

Może coś z tego będzie: (luźne spostrzeżenie)
\(\displaystyle{ (\frac{a}{b-c} + \frac{b}{c-a} + \frac{c}{a-b} ) \cdot (\frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a} + \frac{1}{a-b} )}\)

wyznaczyłam

\(\displaystyle{ \frac{a}{b-c}= \frac{-b}{c-a}- \frac{c}{a-b}}\)

stąd

\(\displaystyle{ \frac{a}{b-c}= \frac{(b-c)(b+c-a)}{(c-a)(a-b)}}\) /(b-c)

\(\displaystyle{ \frac{a}{(b-c) ^{2} }= \frac{b+c-a}{(c-a)(a-b)}}\)

podobnie

\(\displaystyle{ \frac{b}{(c-a) ^{2} }= \frac{c+a-b}{(b-c)(a-b)}}\)
i
\(\displaystyle{ \frac{c}{(a-b) ^{2} } = \frac{a+b-c}{(b-c)(c-a)}}\)

teraz dodaj lewe strony ,sprowadż do wspólnego mianownika

\(\displaystyle{ \frac{(b+c-a)(b-a)+(c+a-b)(c-a)+(a+b-c)(a-b)}{(c-a)(a-b)(b-c)}}\) = \(\displaystyle{ \frac{0}{(c-a)(a-b)(b-c)}}\)

Tak jak powiedział michary91 wystarczy pomnożyć obustronnie przez

\(\displaystyle{ (\frac{1}{b-c} + \frac{1}{c-a} + \frac{1}{a-b} )}\)

Dzięki.