Witam
Mam porównać 2 liczby
\(\displaystyle{
A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006} \\
B=\frac{1}{1003}+\frac{1}{1004}+...+\frac{1}{2006}
}\)
Porównać liczby
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4090
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Porównać liczby
Hint, Botez-Catalan identity: \(\displaystyle{ \sum_\limits{i=n+1}^{2n} \frac 1i = \sum_\limits{i=1}^{2n} \frac {(-1)^{i+1}}{i}.}\)
PS
BOTEZ - CATALAN TYPE IDENTITIES FOR HARMONICS SUMS AND ASSOCIATED INEQUALITIES, Dorin Mărghidanu-Romania
PS
Kod: Zaznacz cały
www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2020/04/BOTEZ-CATALAN-TYPE-IDENTITIES-FOR-HARMONICS-SUMS-AND-ASSOCIATED-INEQUALITIES.pdf-
malgoskk
- Użytkownik
- Posty: 125
- Rejestracja: 18 lis 2008, o 11:11
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Piotrków Tryb.
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: Porównać liczby
\(\displaystyle{
A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006}=\\
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2005}+\frac{1}{2006} - 2\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2006}\right)=\\
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2005}+\frac{1}{2006} - \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1003}\right)=\\
\frac{1}{1004}+\frac{1}{1005}+...+\frac{1}{2006} \neq B\\
B>A
}\)
A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006}=\\
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2005}+\frac{1}{2006} - 2\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2006}\right)=\\
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2005}+\frac{1}{2006} - \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1003}\right)=\\
\frac{1}{1004}+\frac{1}{1005}+...+\frac{1}{2006} \neq B\\
B>A
}\)
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4090
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Porównać liczby
Zgadza się. Widać nawet o ile \(\displaystyle{ B}\) jest większe od \(\displaystyle{ A}\).
Re: Porównać liczby
A jak porównać takie liczby?
\(\displaystyle{
x= \frac{1}{1999}\left( 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+...+ \frac{1}{1999} \right) \\
y=\frac{1}{2000}\left( 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+...+ \frac{1}{2000} \right)
}\)
\(\displaystyle{
x= \frac{1}{1999}\left( 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+...+ \frac{1}{1999} \right) \\
y=\frac{1}{2000}\left( 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+...+ \frac{1}{2000} \right)
}\)
