Matematyka.pl

Mianownik pewnego nieskracalnego ułamka, będącego ilorazem dwóch liczb naturalnych, jest o \(\displaystyle{ 1}\) mniejszy od kwadratu licznika tego ułamka. Jeżeli licznik i mianownik tego ułamka powiększymy o \(\displaystyle{ 2}\), to otrzymamy liczbę większą od \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) a jeśli licznik i mianownik tego ułamka pomniejszymy o \(\displaystyle{ 3}\), to otrzymamy liczbę mniejszą od \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\) Co to za ułamek?

Rozwiązanie:

niech ten ułamek to \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\)
mamy więc \(\displaystyle{ a ^{2} =b+1}\)

Oczywiście z braku lepszego pomysłu postawiam konkretne liczby naturalne, które spełnią równość.
Najmniejszy ułamek taki, by nie było sprzeczności to \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\)

I spełnia on warunki zadania, ponieważ \(\displaystyle{ \left( \frac{5}{10} > \frac{1}{4} \right) \wedge \left( \frac{0}{5} < \frac{1}{10} \right)}\)
I nie byłoby w tym nic dziwnego gdyby kolejny ułamek, tj \(\displaystyle{ \frac{4}{15}}\) również nie spełniał zadania.
\(\displaystyle{ \left( \frac{6}{17} \approx 0,353> \frac{1}{4} \right) \wedge \left( \frac{1}{12}< \frac{1}{10} \right)}\)

Coś robię źle?
PS. Jak zrobić to zadanie inaczej niż przez poszukiwanie konkretnych ułamków i sprawdzanie z założeniami?

Skoro masz \(\displaystyle{ a ^{2} =b+1}\) czyli równanie kwadratowe, to mogą być dwa rozwiązania, ale nie więcej. Ty znalazłeś dwa, więc jest po zadaniu - bo więcej nie będzie.