Matematyka.pl

Witam,

Podczas studiowania pewnego dosyć popularnego podręcznika do liceum natknąłem się na dowód nie wprost niewymierności liczby \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\). Są odpowiednie założenia (\(\displaystyle{ p, q \in\mathbb{Z} \ , \ q\neq 0}\)) i po standardowych przekształceniach mamy:

\(\displaystyle{ \sqrt{3}=\frac{p}{q} \\ 3\cdot q\cdot q=p\cdot p}\)

I w tym momencie następuje komentarz, którego nie rozumiem:

"Otrzymana równość jest fałszywa, bowiem liczba naturalna \(\displaystyle{ 3\cdot q\cdot q}\) w rozkładzie na czynniki pierwsze ma nieparzystą liczbę trójek, natomiast równa jej liczba \(\displaystyle{ p\cdot p}\) w rozkładzie na czynniki pierwsze ma parzystą liczbę trójek."

Skąd wiemy, że taka parzysta/nieparzysta ilość tych trójek tu występuje? Skąd wiemy, że liczba po prawej stronie równości w ogóle jakąkolwiek trójkę w sobie zawiera?

Skąd wiemy, że liczba po prawej stronie równości wogóle jakąkolwiek trójkę w sobie zawiera?

Lewa strona jest podzielna przez trzy, więc prawa też (skoro mają być równe).

Co do parzystej/nieparzystej liczby trójek, polecam podstawowe twierdzenie arytmetyki (czy tam zasadnicze).

Premislav pisze: ↑15 wrz 2022, o 01:06 Lewa strona jest podzielna przez trzy, więc prawa też (skoro mają być równe).

Akurat opisane rozumowanie nie korzysta z tego, że liczba po prawej stronie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).

Liczba \(\displaystyle{ p\cdot p}\) może nie być podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), co nie zmienia faktu, że w rozkładzie na czynniki pierwsze ma parzystą liczbę trójek - zero jest liczbą parzystą.

JK

Czyli mam rozumieć, że taki dowód jest niepoprawny?

Ależ skąd, jest jak najbardziej poprawny. Co Ci w nim nie pasuje?

JK

Skąd wiadomo, że prawa strona ma parzystą ilość trójek?

Moim zdaniem wystarczy uświadomić sobie fakt:

• Jeśli \(\displaystyle{ n\in\NN_{ \ge 2}}\) ma rozkład w liczbach pierwszych na \(\displaystyle{ p_1^{ \alpha _1} \times \dots \times p_k^{ \alpha _k} }\) to liczba \(\displaystyle{ n^2}\) ma rozkład \(\displaystyle{ p_1^{ 2\alpha _1} \times \dots \times p_k^{ 2\alpha _k} }\).

Innymi słowy w rozkładzie \(\displaystyle{ n^2}\) jest dwa razy więcej czynników pierwszych typu \(\displaystyle{ p_i}\)(\(\displaystyle{ i=1,\dots,k}\)). Więc prawa strona, jaki nie byłby rozkład \(\displaystyle{ p}\) w liczbach pierwszych to \(\displaystyle{ p^2}\) jest parzystą ilość razy podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\). Tyle wystarczy bo lewa strona na czynnik \(\displaystyle{ q^2}\) podzienly parzystą liczbę razy oraz jeszcze czynnik pierwszy mianowicie \(\displaystyle{ 3}\).

Już teraz rozumiem, w podręczniku użyli moim zdaniem zbyt dużego uproszczenia. Brakowało mi tego wyjaśnienia, dziękuję za pomoc!