Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ x,y>0}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2}+y^2\ge\sqrt{2\left(\frac{1}{x^2}+x^2\right)} \cdot (y-x+1).}\)

Ze względu na \(y\) jest to nierówność kwadratowa. Czyżby więc wystarczyło obliczyć „deltę” i przekonać się, że jest nieujemna?

Dodano po 2 minutach 25 sekundach:
Jednak jeszcze trzeba trochę pokombinować, ale myślę że warto spróbować pójść w tę stronę.

Ale chyba niedużo (jakiś wielomian szóstego stopnia)

Nie jest aż tak źle, tylko najwyraźniej powinienem wziąć korepetycje u kogoś, kto jeszcze pamięta ze szkoły, co to jest delta. W pierwszym wpisie pomyliłem kierunki, bo delta ma być niedodatnia.

Mamy nierówność typu \(y^2+ay+b\ge0\). Chcemy, żeby była ona spełniona dla wszystkich \(y\ge0\), tzn. musimy pokazać, że zawsze zachodzi któryś z warunków:

• równanie \(y^2+ay+b=0\) nie ma pierwiastków (\(\Delta<0\)),
• jest jeden pierwiastek podwójny (\(\Delta=0\)),
• są dwa pierwiastki niedodatnie.

Na spełnienie ostatniego warunku nie mamy szans, bo \(\displaystyle{ y_1+y_2=\sqrt{2\left(\frac1{x^2}+x^2\right)}>0}\). Zatem siłą rzeczy będziemy się starać wykazać, że \(\Delta\le0\), co jest równoważne kolejnym nierównościom:
\[2\left(\frac1{x^2}+x^2\right)-4\cdot\frac1{x^2}-4(x-1)\sqrt{2\left(\frac1{x^2}+x^2\right)}\le0\]
\[x^2-\frac1{x^2}-2(x-1)\sqrt{2\left(\frac1{x^2}+x^2\right)}\le0\]
\[x^4-1-2x(x-1)\sqrt{2(x^4+1)}\le0\]
Wyłączymy \(x-1\).
\[(x-1)\left(x^3+x^2+x+1-2x\sqrt{2(x^4+1)}\right)\le0\]
Prawy czynnik jest różnicą dwóch wartości dodatnich. Pomnóżmy nierówność przez sumę tych wartości, żeby skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów.
\[(x-1)((x^3+x^2+x+1)^2-4x^2\cdot2(x^4+1))\le0\]
\[(x-1)(x^6+2x^5+3x^4+4x^3+3x^2+2x+1-8x^6-8x^2)\le0\]
Żeby ta nierówność miała szansę być spełniona dla wszystkich \(x>0\), to w prawym czynniku musi się znaleźć czynnik \((x-1)\). Zatem spróbujmy:
\[(x-1)^2(-7x^5-5x^4-2x^3+2x^2-3x-1)\le0\]
Ta ostatnia nierówność już jest oczywista. Wynika chociażby z tego, że \(-x^4+2x^2-1\le0\).

Założenie \(y>0\) nie było nam przydatne.

Dodano po 11 minutach 48 sekundach:
Można jeszcze postawić pytanie, kiedy zachodzi równość. Wygląda na to, że tylko wtedy, gdy \(x=y=1\).