Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a,b,c zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ 3+(a+b+c)+( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c})+( \frac{a}{b} + \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}) \ge \frac{3(a+1)(b+1)(c+1)}{abc+1} }\)
Nierówność
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Nierówność
Pomnóżmy stronami przez \(\displaystyle{ abc+1}\) i wykonajmy redukcję wyrazów podobnych, a otrzymamy równoważną nierówność:
\(\displaystyle{ abc(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}\)
Następnie odnotujmy, że z AM-GM mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+abc^{2}\ge 2ca\\\frac{b}{c}+bca^{2}\ge 2ab\\ \frac{c}{a}+cab^{2}\ge 2bc\\a^{2}c+\frac{1}{c}\ge 2a\\b^{2}a+\frac{1}{a}\ge 2b\\c^{2}b+\frac{1}{b}\ge 2c}\)
Dodajemy te nierówności stronami i po dowodzie. Równość zachodzi dla \(\displaystyle{ a=b=c=1}\).
\(\displaystyle{ abc(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 2(a+b+c)+2(ab+bc+ca)}\)
Następnie odnotujmy, że z AM-GM mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+abc^{2}\ge 2ca\\\frac{b}{c}+bca^{2}\ge 2ab\\ \frac{c}{a}+cab^{2}\ge 2bc\\a^{2}c+\frac{1}{c}\ge 2a\\b^{2}a+\frac{1}{a}\ge 2b\\c^{2}b+\frac{1}{b}\ge 2c}\)
Dodajemy te nierówności stronami i po dowodzie. Równość zachodzi dla \(\displaystyle{ a=b=c=1}\).