Mam zadanie: udowodnij, że jeśli liczby \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) są dodatnie to zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{2a+c}{b}+ \frac{b+5d}{c}+ \frac{2bd+5ac}{ad} \ge 16 }\)
zapisuję to jako \(\displaystyle{ x= \frac{2a}{b}+ \frac{c}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{5d}{c}+ \frac{2b}{a}+ \frac{5c}{d} }\)
z nierówności między średnimi \(\displaystyle{ \frac{x}{6} \ge \sqrt[6]{\frac{2a}{b} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{5d}{c} \cdot \frac{2b}{a} \cdot \frac{5c}{d}} = \sqrt[6]{100}= \sqrt[3]{10} }\)
więc \(\displaystyle{ x \ge 6 \sqrt[3]{10} \approx 12,93 }\), ale nie wynika z tego, że \(\displaystyle{ x \ge 16}\)
czy popełniłem gdzieś błąd?
nierówność między średnimi
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
-
- Administrator
- Posty: 34342
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: nierówność między średnimi
Błędu nie ma, tylko metoda jest nieefektywna...
Powinieneś wiedzieć, że \(\displaystyle{ \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2 }\). A wtedy mamy
\(\displaystyle{ \frac{2a}{b}+ \frac{c}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{5d}{c}+ \frac{2b}{a}+ \frac{5c}{d}=2\cdot \left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right) +\left(\frac{c}{b}+ \frac{b}{c} \right) +5\cdot \left( \frac{d}{c}+\frac{c}{d}\right)\ge 2\cdot 2+2+5\cdot 2=16.}\)
JK
Powinieneś wiedzieć, że \(\displaystyle{ \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2 }\). A wtedy mamy
\(\displaystyle{ \frac{2a}{b}+ \frac{c}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{5d}{c}+ \frac{2b}{a}+ \frac{5c}{d}=2\cdot \left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right) +\left(\frac{c}{b}+ \frac{b}{c} \right) +5\cdot \left( \frac{d}{c}+\frac{c}{d}\right)\ge 2\cdot 2+2+5\cdot 2=16.}\)
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
Re: nierówność między średnimi
Bardzo dziękuję za pomoc.
Skoro mój wynik jest poprawny, to czy dwa rozwiązania nie kłócą się ze sobą? Niektóre liczby spełniają pierwszą nierówność, ale nie spełniają drugiej.
Skoro mój wynik jest poprawny, to czy dwa rozwiązania nie kłócą się ze sobą? Niektóre liczby spełniają pierwszą nierówność, ale nie spełniają drugiej.
-
- Administrator
- Posty: 34342
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: nierówność między średnimi
Jeżeli udowodnisz, że wszyscy studenci na roku zdali egzamin z przedmiotu X, a ja udowodnię, że wszyscy studenci na tym roku zdali egzamin z przedmiotu X na ocenę przynajmniej dobrą, to czy nasze rozwiązania kłócą się za sobą dlatego, że można zdać egzamin na ocenę dostateczną?wojciechfil20 pisze: ↑23 mar 2023, o 09:59Niektóre liczby spełniają pierwszą nierówność, ale nie spełniają drugiej.
JK