nierówność między średnimi

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
wojciechfil20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy

nierówność między średnimi

Post autor: wojciechfil20 »

Mam zadanie: udowodnij, że jeśli liczby \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) są dodatnie to zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{2a+c}{b}+ \frac{b+5d}{c}+ \frac{2bd+5ac}{ad} \ge 16 }\)

zapisuję to jako \(\displaystyle{ x= \frac{2a}{b}+ \frac{c}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{5d}{c}+ \frac{2b}{a}+ \frac{5c}{d} }\)
z nierówności między średnimi \(\displaystyle{ \frac{x}{6} \ge \sqrt[6]{\frac{2a}{b} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{5d}{c} \cdot \frac{2b}{a} \cdot \frac{5c}{d}} = \sqrt[6]{100}= \sqrt[3]{10} }\)
więc \(\displaystyle{ x \ge 6 \sqrt[3]{10} \approx 12,93 }\), ale nie wynika z tego, że \(\displaystyle{ x \ge 16}\)
czy popełniłem gdzieś błąd?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34073
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5191 razy

Re: nierówność między średnimi

Post autor: Jan Kraszewski »

Błędu nie ma, tylko metoda jest nieefektywna...

Powinieneś wiedzieć, że \(\displaystyle{ \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge 2 }\). A wtedy mamy

\(\displaystyle{ \frac{2a}{b}+ \frac{c}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{5d}{c}+ \frac{2b}{a}+ \frac{5c}{d}=2\cdot \left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right) +\left(\frac{c}{b}+ \frac{b}{c} \right) +5\cdot \left( \frac{d}{c}+\frac{c}{d}\right)\ge 2\cdot 2+2+5\cdot 2=16.}\)

JK
wojciechfil20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 27 lis 2021, o 14:52
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy

Re: nierówność między średnimi

Post autor: wojciechfil20 »

Bardzo dziękuję za pomoc.
Skoro mój wynik jest poprawny, to czy dwa rozwiązania nie kłócą się ze sobą? Niektóre liczby spełniają pierwszą nierówność, ale nie spełniają drugiej.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34073
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5191 razy

Re: nierówność między średnimi

Post autor: Jan Kraszewski »

wojciechfil20 pisze: 23 mar 2023, o 09:59Niektóre liczby spełniają pierwszą nierówność, ale nie spełniają drugiej.
Jeżeli udowodnisz, że wszyscy studenci na roku zdali egzamin z przedmiotu X, a ja udowodnię, że wszyscy studenci na tym roku zdali egzamin z przedmiotu X na ocenę przynajmniej dobrą, to czy nasze rozwiązania kłócą się za sobą dlatego, że można zdać egzamin na ocenę dostateczną?

JK
ODPOWIEDZ