Nierówność - liczba zmiennych

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Nierówność - liczba zmiennych

Post autor: karolex123 »

Liczby \(\displaystyle{ x_1,x_2, \ldots, x_n}\) spełniają warunki:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+\ldots+x_n >x_1^2+x_2^2 + \ldots +x_n^2}\)
oraz
\(\displaystyle{ x_1^3+x_2^3+ \ldots + x_n^3 > 2(x_1^2+ x_2^2 + \ldots + x_n^2)}\)
Znaleźć najmniejszą możliwą wartość \(\displaystyle{ n}\).
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5683
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 523 razy

Re: Nierówność - liczba zmiennych

Post autor: arek1357 »

Napiszę tylko co mi się tu nasunęło, nie traktuję tego jak rozwiązania, podzielę się wnioskami:

A mianowicie pierwsza nierówność to wnętrze hipersfery o środku i promieniu:

\(\displaystyle{ H_{n}\left[ \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2},..., \frac{1}{2} \right); \frac{ \sqrt{n} }{2} \right] }\)

Drugie to jakaś hiperpowierzchnia (jako równanie) przechodząca przez punkty:

\(\displaystyle{ \left( a_{1},a_{2},...,a_{n}\right) ; a_{i}=0 \vee 2}\)

(W formie nierówności to obszar oddzielający od hipersfery "na prawo od niej")...

Nie biorę pod uwagę tylko, że wszystkie \(\displaystyle{ a_{i}}\) są zerami...

I co mnie nasunęło, że hiperpowierzchnia jest w miarę stabilna(?) a hipersfera zwiększa swój promień, aż jej wnętrze przetnie obszar poza hiperpowierzchnią.

Badałem to na modelu \(\displaystyle{ 2D}\) i wyszło mi przecięcie dla \(\displaystyle{ n=23}\)...

Ale to jest oczywiście tylko hipoteza, więc każde konstruktywne wnioski i spostrzeżenia są mile widziane...
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1655
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 444 razy

Re: Nierówność - liczba zmiennych

Post autor: bosa_Nike »

Można dowieść, że dla każdego \(n\ge 18\) np. liczby \(x_1=\frac{1}{4}\left(\sqrt{3n-\frac{1}{n}+1}+2\right)\), \(x_2=\ldots =x_n=\frac{1}{4}\) spełniają jednocześnie oba warunki zadania. Można też dowieść, że \(n\ge 10\) (por. Tournament of Towns Fall 2006 Seniors A7a lub Delta 9/2022 M1720). Przypuszczam, że \(n_{min}=18\), ale nie wiem na razie, jak efektywnie wyeliminować pozostałe osiem przypadków.
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1651
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 471 razy

Re: Nierówność - liczba zmiennych

Post autor: timon92 »

też mi wychodzi, że najmniejszym możliwym \(n\) jest \(18\)

bez straty ogólności wszystkie zmienne są dodatnie, bo jeśli mam jakieś \(x_1,x_2,\ldots,x_n\), które to spełniają, to mogę pominąć niedodatnie liczby i dostanę \(m\)-tkę, która też to spełnia i \(m \le n\)

w pierwszej nierówności mogę bez straty ogólności brać równość, bo mogę sobie przeskalować wszystkie liczby o czynnik \(\frac{x_1+\ldots+x_n}{x_1^2+\ldots+x_n^2}>1\) i w ten sposób wymusić równość w pierwszej nierówności, a druga się zachowa (i na odwrót --- jeśli mam \(n\)-tkę, dla której w pierwszej nierówności jest równość, a w drugiej nierówność, to mogę przeskalować przez czynnik bardzo bliski jedynki i wyprodukować \(n\)-tkę, która spełnia nierówności jak w oryginalnej treści)

jeśli mam \(n\)-tkę dodatnich liczb, która to spełnia, to poprzez zabawę typu "biorę trzy liczby i zmieniam je tak, że ich suma i suma kwadratów nie zmienia się powiększam sumę sześcianów" (mogę potem dokładnie opisać jeśli ktoś chce) potrafię wyprodukować \(n\)-tkę dodatnich liczb postaci \(a,a,\ldots,a,b\), która to spełnia i \(a<b\)

no i zabawa jest teraz taka, że \(0<a<b\), \((n-1)a+b=(n-1)a^2+b^2\), \((n-1)^2a^3+b^3>2((n-1)a^2+b^2)\) i szukamy najmniejszego możliwego \(n\), dla którego takie \(a,b\) istnieją

dana równość przepisuje się jako \((n-1)(a-a^2)=b^2-b\); jeśli \(b\le 1\), to \(a<1\) i \(LHS > 0 \ge RHS\) i sprzeczność, więc \(b>1\) i co za tym idzie \(a-a^2=\frac{b^2-b}{n-1}>0\), czyli \(a<1\)

mamy \(n-1=\frac{b(b-1)}{a(1-a)}\)

dana nierówność jest równoważna \((n-1)(a^3-2a^2)>2b^2-b^3\) i podstawiając tu \(n-1=\frac{b(b-1)}{a(1-a)}\) dostajemy po skróceniu tego co się da \(a(a-2)(b-1)>b(2-b)(1-a)\)

to przekształcamy dalej do postaci \((b-1)-\frac{1}{b-1} > \frac{1}{1-a}-(1-a)\)

funkcja \(f(t)=t-\frac 1t\) jest rosnąca, więc poprzednie jest równoważne temu, że \(b-1>\frac{1}{1-a}\)

to znaczy, że wszystkie warunki nałożone na \(a,b\) są po prostu równoważne temu, że \(0<a<1, b-1>\frac{1}{1-a}\) i \(n-1 = \frac{b^2-b}{a-a^2}\)

\(n-1 = \dfrac{b^2-b}{a-a^2}>\dfrac{(1+\frac{1}{1-a})\cdot\frac{1}{1-a}}{a-a^2} = \dfrac{2-a}{a(1-a)^3}\), a minimum tego wyrażenia jest równe z grubsza \(16.458\), więc rzeczywiście \(n\ge 18\)
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: Nierówność - liczba zmiennych

Post autor: karolex123 »

Dobrze! Może byłoby warto opisać procedurę zamiany ciągu liczb nieujemnych \(\displaystyle{ x_1, \ldots, x_n}\) na ciąg \(\displaystyle{ a,a, \ldots, a,b}\) z \(\displaystyle{ a<b}\) dla zainteresowanych :?: :!:
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1651
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 471 razy

Re: Nierówność - liczba zmiennych

Post autor: timon92 »

miałem nadzieję, że nikt nie będzie się dopytywał, bo mi się nie chciało tego opisywać, ale skoro obiecałem, to opiszę

zasadniczo chodzi o to, że jeśli \(0\le x<y\le z\), to patrzymy na wielomian \(P(t)=(t-x)(t-y)(t-z)=t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz\)

możemy popatrzeć na wielomian \(Q(t)=P(t)-\varepsilon\), gdzie \(\varepsilon>0\) jest tak mały, że \(Q(t)\) też ma trzy pierwiastki rzeczywiste

no i wtedy suma pierwiastków \(P\) jest taka sama jak suma pierwiastków \(Q\), tak samo z sumą kwadratów, a suma sześcianów pierwiastków \(P\) jest mniejsza od sumy sześcianów pierwiastków \(Q\)

skądinąd wiadomo, że przy ustalonych \(x_1+x_2+\ldots+x_n\) i \(x_1^2+\ldots+x_n^2\), gdzie \(x_i\ge 0\) funkcja \(f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=x_1^3+\ldots+x_n^3\) jest ciągła, ograniczona i określona na zbiorze zwartym, więc osiąga maksimum --- musi być ono osiągane na argumencie postaci \((a,a,\ldots,a,b)\) na mocy spostrzeżeń poczynionych wcześniej
Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 751
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 39 razy
Pomógł: 127 razy

Re: Nierówność - liczba zmiennych

Post autor: karolex123 »

Dziękuję za kompletną argumentację :!: :!: :!:
ODPOWIEDZ