n i k
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11417
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
n i k
Zwinąć wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{ \sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{n+ \sqrt{k} }}{\sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{n- \sqrt{k}}}. }\)
Ostatnio zmieniony 11 lis 2023, o 21:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: n i k
\(\displaystyle{ \sqrt{n+ \sqrt{k} } + \sqrt{n- \sqrt{k} } =x_{k} /^2}\)
\(\displaystyle{ 2n+2 \sqrt{n^2-k} =x^2_{k}}\)
\(\displaystyle{ x_{k}= \sqrt{2} \sqrt{n+ \sqrt{n^2-k} } }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{n- \sqrt{k} } =x_{k}-\sqrt{n+ \sqrt{k} } }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{n- \sqrt{k} } =\sqrt{2} \sqrt{n+ \sqrt{n^2-k} }-\sqrt{n+ \sqrt{k} } }\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{n+ \sqrt{k} } }{\sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{n- \sqrt{k} } } = \frac{\sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{n+ \sqrt{k} } }{ \sqrt{2}\sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{n+ \sqrt{n^2-k} }-\sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{n+ \sqrt{k} } } }\)
ale jak łatwo zauważyć:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{n+ \sqrt{n^2-k} }=\sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{n+ \sqrt{k} } =A}\)
Więc cały ten ułamek to:
\(\displaystyle{ \frac{A}{ \sqrt{2}A-A } = \frac{1}{ \sqrt{2} -1} = \sqrt{2} +1}\)
cnd...
\(\displaystyle{ 2n+2 \sqrt{n^2-k} =x^2_{k}}\)
\(\displaystyle{ x_{k}= \sqrt{2} \sqrt{n+ \sqrt{n^2-k} } }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{n- \sqrt{k} } =x_{k}-\sqrt{n+ \sqrt{k} } }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{n- \sqrt{k} } =\sqrt{2} \sqrt{n+ \sqrt{n^2-k} }-\sqrt{n+ \sqrt{k} } }\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{n+ \sqrt{k} } }{\sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{n- \sqrt{k} } } = \frac{\sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{n+ \sqrt{k} } }{ \sqrt{2}\sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{n+ \sqrt{n^2-k} }-\sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{n+ \sqrt{k} } } }\)
ale jak łatwo zauważyć:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{n+ \sqrt{n^2-k} }=\sum_{k=1}^{n^2-1} \sqrt{n+ \sqrt{k} } =A}\)
Więc cały ten ułamek to:
\(\displaystyle{ \frac{A}{ \sqrt{2}A-A } = \frac{1}{ \sqrt{2} -1} = \sqrt{2} +1}\)
cnd...